第八章 培优课(四) 隐圆问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（浙江专用）

培优课(四)　隐圆问题 隐圆问题是指在已知条件中没有明确给出圆的相关信息,而是隐含在题目中,要通过分析、转化,发现圆(或圆的方程),从而利用圆的知识来求解.求解此类问题,主要是培养“数学建模”的核心素养. 利用圆的定义或圆的几何性质确定圆 [典例1] (2022·河南许昌三模)已知M,N为圆C:x2+y2-2x-4y=0上两点,且|MN|=4,点P在直线l:x-y+3=0上,则|+|的最小值为(　　) A.2-2 B.2 C.2+2 D.2- 解析:设线段MN的中点为D,圆C:x2+y2-2x-4y=0的圆心为C(1,2),半径为 .C到直线MN的距离为=1,所以|CD|=1,故点D的轨迹是以C为圆心,半径为1的圆,设点D的轨迹为圆C′,圆C′上的点到直线l的最短距离为t=-1=-1,所以|+|=|2|=2||≥2t=2-2.故选A. 在平面内到定点的距离等于常数,则这个点的轨迹是一个圆.解决这类问题只要抓住两个关键词:定点,定长.然后再化归为圆中的有关问题去解即可. [拓展演练] 设A是圆(x+1)2+y2=9上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=4,则点P到点Q(5,8)距离的最小值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.15 解析:由圆(x+1)2+y2=9,可知圆心C(-1,0),半径为3,又|PA|=4, 所以|PC|2=|PA|2+32=25,即点P的轨迹方程为(x+1)2+y2=25. 故点P到点Q(5,8)距离的最小值为-5=5.故选B. 阿波罗尼斯圆 [典例2] 已知圆心C在直线y=2x-4上的圆的半径为1,点A(0,3),若圆C上存在点M,使得|MA|=2|MO|(O为坐标原点),则圆心C的横坐标 a的最大值是(　　) A. B. C. D. 解析:因为圆C的圆心在直线y=2x-4上, 所以圆C的方程设为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1. 设M(x,y),由|MA|=2|MO|, 可得=2, 化简可得x2+(y+1)2=4,点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上. 由题意点M(x,y)在圆C上, 则圆C和圆D有公共点, 即|2-1|≤|CD|≤2+1, 所以1≤≤3, 即5a2-12a+8≥0,且5a2-12a≤0, 由5a2-12a+8≥0,可得a∈R, 由5a2-12a≤0, 可得0≤a≤,圆心C的横坐标a的取值范围为[0,].故选C. (1)在平面上给定两点A,B,设点P在同一平面上且满足=λ,当λ>0且λ≠1时,点P的轨迹是个圆,称之为阿波罗尼斯圆.当λ=1时,点P的轨迹是线段AB的中垂线. (2)如图,A,B为两已知点,P,Q分别为线段AB的定比为λ(λ≠1)的内外分点,则以PQ为直径的圆O上任意点到A,B两点的距离之比为λ,|AB|=a. 性质1.当λ>1时,点B在圆O内,点A在圆O外; 当0<λ<1时,点A在圆O内,点B在圆O外. 性质2.因为|AC|2=|AP|·|AQ|,所以AC是圆O的一条切线. 若已知圆O及圆O外一点A,可以作出与之对应的点B,反之亦然. 性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为|PQ|=|PB|+|BQ|=,面积为π()2. 注意:使用阿波罗尼斯圆解题时,若已知条件中没有坐标系,则需要建立坐标系后求解. [拓展演练] 若△ABC满足条件|AB|=4,|AC|=|BC|,则△ABC面积的最大值为　　　　.  解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0). 设C(x,y), 由|AC|=|BC|得=·, 化简整理可得(x-6)2+y2=32, 因此点C的轨迹是以(6,0)为圆心,4为半径的圆(且去掉点(6+4,0)和(6-4,0)). △ABC的面积的最大值为AB·r=×4×4=8. 答案:8 利用A,B为定点,|PA|2+|PB|2为定值确定圆 [典例3] 在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1,点A(0,2),若圆C上存在点M,满足|MA|2+|MO|2=10,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:设M(x,y),因为|MA|2+|MO|2=10, 所以x2+(y-2)2+x2+y2=10, 所以x2+(y-1)2=4. 因为圆C上存在点M,满足|MA|2+|MO|2=10, 所以两圆相交或相切,所以1≤≤3,所以0≤a≤3. 答案:[0,3] (1)动点到两个定点的距离的平方和是定值,则这个点的轨迹也是一个圆,当然这个定值会有一定的范围,否则轨迹不存在,如果在某一距离前加其他系数也可以. (2)一般地,若A,B为定点,P满足|PA|2+|PB|2=λ,则P的轨迹是以AB中点M为圆心,为半径的圆(λ-|AB|2>0). [拓展演练] 正方形ABCD与点P在同一平面内,已知该正方形的边长为1,且