第八章 第9节 直线与圆锥曲线中的最值与范围问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（浙江专用）

第9节　直线与圆锥曲线中的最值与范围问题 最值问题 基本不等式法求最值 [例1] 已知平面内一动点M与两定点B1(0,-1),B2(0,1)的连线的斜率之积为-. (1)求动点M的轨迹E的方程; (2)设直线l:y=x+m与轨迹E交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P,当m变化时,求△PAB面积的最大值. 解:(1)设M的坐标为(x,y), 依题意得·=-, 化简得+y2=1(x≠0). (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 消去y,得3x2+4mx+2m2-2=0, 所以x1+x2=-,x1x2=, 且Δ=(4m)2-12(2m2-2)>0, 即-<m<,且m≠-1,0,1. 设A,B中点为C,点C横坐标为xC==-,yC=xC+m=, 所以线段AB的垂直平分线方程为 y-=-(x+),所以点P的坐标为(-,0), 所以点P到AB的距离d=. 由弦长公式得|AB|=·=·, 所以S△PAB=×××=≤·=. 当且仅当m2=,即m=±时,等号成立, 经检验m=±符合题意. 所以△PAB面积的最大值为. 利用基本不等式法求解直线与圆锥曲线的交点有关的最值问题时,主要是把待求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后将函数变形为两项和或积的形式,然后用基本不等式求出最值. 构造目标函数求最值 [例2] (2021·全国乙卷)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4. (1)求p; (2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值. 解:(1)由题意知M(0,-4),F(0,),圆M的半径r=1,所以|MF|-r=4, 即+4-1=4,解得p=2. (2)由(1)知,抛物线方程为x2=4y, 由题意可知直线AB的斜率存在,设A(x1,),B(x2,),直线AB的方程为y=kx+b, 联立得消去y,得x2-4kx-4b=0, 则Δ=16k2+16b>0,(※) x1+x2=4k,x1x2=-4b, 所以|AB|=|x1-x2|=· =4·. 因为x2=4y,即y=,所以y′=, 则抛物线在点A处的切线斜率为, 在点A处的切线方程为y-=(x-x1), 即y=x-. 同理得抛物线在点B处的切线方程为y=x-, 联立得则 即P(2k,-b).因为点P在圆M上, 所以4k2+(4-b)2=1,① 且-1≤2k≤1,-5≤-b≤-3, 即-≤k≤,3≤b≤5,满足(※)式. 设点P到直线AB的距离为d,则d=, 所以S△PAB=|AB|·d=4. 由①得,k2==, 令t=k2+b,则t=,且3≤b ≤5. 因为t=在[3,5]上单调递增,所以当b=5时,t取得最大值,tmax=5,此时k=0,所以△PAB面积的最大值为20. 动直线与圆锥曲线相交形成的与交点有关的最值问题,若最值的关系式可以转化为某一变量的函数关系式,可以用函数最值的有关知识(二次函数的配方法,以及利用导数研究函数的单调性法等)求最值,在求最值时,要注意变量的取值范围对最值的影响. [针对训练] 1.如图,已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线E上的点到准线的最小距离为1. (1)求抛物线E的方程; (2)过点F作互相垂直的两条直线l1,l2,l1与抛物线E交于A,B两点,l2与抛物线E交于C,D两点,M,N分别为弦AB,CD的中点,求|MF|·|NF|的最小值. 解:(1)因为抛物线E上的点到准线的最小距离为1,所以=1,解得p=2, 所以抛物线E的方程为y2=4x. (2)由(1)可知焦点F为(1,0),由已知可得AB⊥CD,所以直线AB,CD的斜率都存在且均不为0. 设直线AB的斜率为k(k≠0),则直线CD的斜率为-, 所以直线AB的方程为y=k(x-1),联立方程消去x,得ky2-4y-4k=0. 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,因为M(xM,yM)为弦AB的中点,所以yM=(y1+y2)=.由yM=k(xM-1),得xM=+1=+1,所以点M(+1,),同理可得N(2k2+1,-2k),所以|NF|==2,|MF|== , 所以|MF||NF|=×2=4×=4(+|k|)≥4×2=8. 当且仅当=|k|,即k=±1时,等号成立,所以|MF||NF|的最小值为8. 2.已知抛物线C:y2=2px(p>0),A是C上位于第一象限内的动点,且A到点B(p,0)的距离的最小值为2.直线AB与C交于另一点D,E是C上位于直线AB下方的动点. (1)求p的值; (2)当|AB|=2,求△ADE的面积取最大值时点E的坐标. 解:(1)设A(,a)(a>0), 则|AB|===, 故当a2