第八章 第8节 直线与圆锥曲线中的定点与定值问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（浙江专用）

第8节　直线与圆锥曲线中的定点与定值问题 定点问题 [例1] 若P,Q是双曲线C:x2-=1上的两点,M是C的右顶点,且直线MP与MQ的斜率之积为-,证明直线PQ恒过定点,并求出该定点的坐标. 解:由已知得M(1,0),设直线MP与MQ的斜率分别为k1,k2. ①当直线PQ垂直于x轴时, 设P(t,h),因为P是双曲线C上的点, 所以h2=2t2-2, 则k1k2====-, 解得t=-2,即若存在定点,定点在直线x=-2上. ②当直线PQ不垂直于x轴时,设直线PQ的斜率为k,PQ的方程为y=kx+m,且P(x1,y1),Q(x2,y2),由 消去y,得(k2-2)x2+2kmx+m2+2=0. 当时, x1+x2=,x1x2=, 则k1k2=======-,得m=2k,即若存在定点,则定点在直线y=k(x+2)上, 由 得 综上,直线PQ恒过定点(-2,0). (1)参数法解决定点问题的思路:①引入动点的坐标或动直线中的参数表示变化量,即确定题目中的核心变量(此处设为k);②利用条件找到k与过定点的曲线F(x,y)=0之间的关系,得到关于k与x,y的等式,再研究变化量与参数何时没有关系,找到定点.其理论依据是:直线方程的点斜式y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);直线方程的斜截式y=kx+m,则直线必过定点(0,m). (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关. [针对训练] (2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,-2),B(,-1)两点. (1)求E的方程; (2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足 =.证明:直线HN过定点. (1)解:因为椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴,y轴,且过A(0,-2), 所以可设椭圆E的方程为+=1, 又椭圆E过B(,-1), 所以+=1,得a2=3, 所以E的方程为+=1. (2)证明:当直线MN的斜率不存在时,lMN:x=1, 由得 y2=,所以y=±. 结合题意可知M(1,-),N(1,), 所以过M且平行于x轴的直线的方程为y=-. 易知点T的横坐标xT∈[0,],直线AB的方程为y-(-2)=·(x-0), 即y=x-2, 由得xT=3-, 所以T(3-,-). 因为=,所以H(5-2,-), lHN:y-=(x-1), 即y=x-2. 当直线MN的斜率存在时, 如图,设M(x1,y1),N(x2,y2),lMN:y=kx+m(k+m=-2). 由 得(3k2+4)x2+6kmx+3m2-12=0, Δ>0, 所以x1+x2=-,x1x2=. 过M且平行于x轴的直线的方程为y=y1, 与直线AB的方程联立,得 得xT=,所以T(,y1). 因为=,所以H(3y1+6-x1,y1), lHN:y-y2=(x-x2), 即y=x+y2-·x2. 令x=0, 得y=y2- = =. 因为y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=, y1+y2=(kx1+m)+(kx2+m)=k(x1+x2)+2m=, x1y2+x2y1=x1(kx2+m)+x2(kx1+m)=2kx1x2+m(x1+x2)=, 所以-(x1y2+x2y1)+3y1y2=+= =, -(x1+x2)+6+3(y1+y2) =+6+= =, 所以y==-2, 所以直线HN过定点(0,-2). 综上,直线HN过定点(0,-2). 定直线问题 [例2] 已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,过F2作不平行于坐标轴的直线交Γ于A,B两点,且△ABF1的周长为4. (1)求椭圆Γ的标准方程; (2)若AM⊥x轴于点M,BN⊥x轴于点N,直线AN与BM交于点C.求证:点C在一条定直线上,并求此定直线. 解:(1)由椭圆定义可知△ABF1的周长为4a=4,则a=, 因为离心率e==,所以c=2, 又因为b2=a2-c2=6-4=2, 故椭圆Γ的标准方程为+=1. (2)依题意,设直线AB的方程为x=my+2(m≠0). 联立消去x,得(m2+3)y2+4my-2=0,易知Δ=16m2+8(m2+3)= 24(m2+1)>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=-,y1y2=-. 因为AM⊥x轴,BN⊥x轴, 所以M(x1,0),N(x2,0), 所以直线AN:y=(x-x2), 直线BM:y=(x-x1), 联立解得xC= ==2+=3, 所以点C在定直线x=3上. 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹,主要方法有: