第八章 第7节 抛物线-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（浙江专用）

第7节　抛物线 [课程标准要求] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 2.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用. 1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线. 若点F在直线l上,则点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线. 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 图形 顶点 坐标 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 坐标 F(,0) F(-,0) F(0,) F(0,-) 离心率 e=1 准线 方程 x=- x= y=- y= 范围 x≥0, y∈R x≤0, y∈R y≥0, x∈R y≤0, x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 (1)若抛物线的准线与对称轴的交点为M,则抛物线的顶点为焦点与M的中点. (2)抛物线的焦半径与焦点弦:抛物线上任意一点P(x0,y0)与焦点F的连线段称为焦半径.过抛物线焦点的直线与抛物线相交所形成的线段称为抛物线的焦点弦.求解焦点弦的长度时,常利用抛物线的定义转化为交点到相应的准线的距离. 1.抛物线C:y2=2px(p>0)上一点M(1,y0)到焦点F的距离为3,则p的值为(　D　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由抛物线的定义可知,|MF|=1+=3, 所以p=4. 2.(选择性必修一P136T3改编)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于(　B　) A.9 B.8 C.7 D.6 解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1. 根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8. 3.抛物线y=x2的焦点到准线的距离为　　　　.  解析:因为抛物线方程可以化为x2=4y,所以p=2,焦点到准线的距离为p=2. 答案:2 4.顶点在原点,且过点P(-1,2)的抛物线的标准方程是　　　　.  解析:设抛物线的方程是y2=kx或x2=my,代入点P(-1,2),解得k=-4或m=, 所以y2=-4x或x2=y. 答案:y2=-4x或x2=y 抛物线的定义及标准方程 1.(2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|等于(　B　) A.2 B.2 C.3 D.3 解析:法一　由题意可知F(1,0), 准线方程为x=-1,设A(,y0), 由抛物线的定义可知|AF|=+1, 又|BF|=3-1=2, 由|AF|=|BF|,可得+1=2, 解得y0=±2, 所以A(1,2)或A(1,-2),不妨取A(1,2), 故|AB|==2. 法二　由题意可知F(1,0),|BF|=2, 所以|AF|=2,抛物线通径为4, 所以|AF|=2为通径的一半, 所以AF⊥x轴, 所以|AB|==2. 2.设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆心C的轨迹为(　A　) A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 解析:由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线. 3.(2022·河南商丘三模)写出一个同时满足以下条件的抛物线C的方程为　　　　.  ①C的顶点在坐标原点; ②C的对称轴为坐标轴; ③C的焦点到其准线的距离为. 解析:由①②可知C的方程为抛物线的标准方程,由③可知p=,所以抛物线C的方程可以为y2=x(答案不唯一). 答案:y2=x(答案不唯一) 4.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=　　　　.  解析:法一　依题意可知,抛物线的焦点F(2,0),设N(0,t),由中点坐标公式得M(1,),|MF|=2+1=3, 所以|FN|=2|MF|=6. 法二　如图,过M,N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1,N1,设抛物线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4. 因为M为FN的中点,所以|MM1|=3, 由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3, 从而|FN|=2|FM|=6. 答案:6 (1)利用抛物线的定义可解决的常见问题 ①轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定