第八章 第6节 双曲线-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（浙江专用）

第6节　双曲线 [课程标准要求] 1.了解双曲线的实际背景及双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质. 3.了解双曲线的简单应用. 1.双曲线的定义 一般地,把平面内与两个定点F1,F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且c>a>0. (1)当|PF1|-|PF2|=2a(2a<|F1F2|)时,点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.当|PF1|-|PF2|=-2a(2a<|F1F2|)时,点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支. (2)若2a=2c,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若2a>2c,则轨迹不存在;若2a=0,则轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤-a, y∈R y≤-a 或y≥a,x∈R 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(-a,0), A2(a,0) A1(0,-a), A2(0,a) 续　表 标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 性质 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=,e∈(1,+∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长度|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长度|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 a,b,c 的关系 c2=a2+b2 若双曲线-=1中的条件是a>b>0,则e==∈(1,);若条件是0<a<b,则e>;若a=b>0,则e=. 3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率为e=. 1.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为虚半轴长. 2.过双曲线的一个焦点,且与实轴垂直的弦的长为. 3.点P为双曲线上不同于实轴两端点的一点,若F1,F2为双曲线的两个焦点,且∠F1PF2=θ,则=. 4.若P是双曲线-=1(a>0,b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I为△PF1F2内切圆的圆心,则圆心I的横坐标为定值a(或圆心I在定直线x=a上). 1.(选择性必修第一册P121 T2改编)椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则实数a等于(　D　) A. B.-1 C.1 D.-1或1 解析:因为双曲线-=1的焦点在x轴上,所以由题意可得4-a2=a2+2⇒a2=1⇒a=±1. 2.(选择性必修第一册P120例1改编)已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满足|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是(　D　) A.-=1 B.-=1(x≥4) C.-=1 D.-=1(x≥3) 解析:由双曲线的定义知,点M的轨迹是双曲线的右支,故排除A,C.又由题意可知c=5,a=3,所以b==4,故点M的轨迹方程为-=1(x≥3). 3.若双曲线-=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为(　D　) A. B. C. D. 解析:由题意知=,则e2=1+=, 所以e=. 4.设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线的下、上焦点,若|PF1|=10,则|PF2|=　　　　　　.  解析:由题意知a=5,且P在双曲线下支上,所以|PF2|-|PF1|=2a=10,则|PF2|=20. 答案:20 5.(2022·全国甲卷)若双曲线y2-=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则m=　　　　.  解析:双曲线的渐近线方程为x±my=0,圆x2+y2-4y+3=0的方程可化为x2+(y-2)2=1,则圆心坐标为(0,2),半径r=1.因为双曲线的渐近线与圆相切,所以圆心到渐近线的距离d==1,得m=. 答案: 双曲线的定义及应用 　根据定义判断曲线的形状 [例1] 已知动圆与两个圆C1:(x+4)2+y2=1和C2:(x-4)2+y2=9均内切,则动圆的圆心轨迹方程为　　　　　.  解析:圆C1的圆心为C1(-4,0),半径为1,圆C2的圆心为C2(4,0),半径为3, 所以两圆相离且|C1C2|=8,设动圆P的半径为r, 由动圆与两圆均内切,则|PC1|=r-1,|PC2|=r-3,此时|PC1|-|PC2|=2, 则点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的靠近C2的一支,此时2c=8,2a