第八章 第5节 椭 圆-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（浙江专用）

第5节　椭　圆 [课程标准要求] 1.了解椭圆及椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.焦距的一半称为半焦距. 其数学表达式:集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>c>0,且a,c为常数. (1)2a>2c的原因是三角形两边之和大于第三边; (2)上述表达式中,若a=c,则集合P为线段.若a<c,则集合P为空集. 2.椭圆的几何性质 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 续　表 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 性 质 范围 -a≤x≤a,且-b≤y≤b -b≤x≤b,且-a≤y≤a 顶点 A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0) 轴长 长轴长=2a,短轴长=2b 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 离心 率 e=,且e∈(0,1) a,b,c 的关系 a2=b2+c2 椭圆的标准方程中 焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大; 焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大. 1.设P为椭圆上不同于长轴两端点的点,F1,F2为椭圆的两个焦点,则 ①b≤|OP|<a;②a-c<|PF1|<a+c. 2.椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为,通径是最短的焦点弦. 3.设P,A,B是椭圆+=1(a>b>0)上不同的三点,其中A,B关于原点对称,P与A,B均不关于坐标轴对称,则直线PA与PB的斜率之积为定值-. 4.椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有关,当a不变时,e越大,b越小,椭圆越扁;e越小,b越大,椭圆越圆. 5.若P(x0,y0)为椭圆+=1(a>b>0)上的任意一点,F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆的左、右焦点,则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,其中e=. 6.椭圆系方程: ①与+=1共焦点的椭圆系为+=1(k<b2). ②与+=1有共同的离心率的椭圆系为+=λ与+=λ(λ>0). 1.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是(　D　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:由右焦点为F(1,0)可知c=1,离心率等于,即=,故a=2, 由a2=b2+c2知b2=3, 故椭圆C的方程为+=1. 2.(选择性必修第一册P109T3改编)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线交椭圆C于A,B两点,则三角形ABF2的周长为(　C　) A.10 B.15 C.20 D.25 解析:由题意椭圆的长轴长为2a=2=10, 由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a=10, |BF1|+|BF2|=2a=10,所以△ABF2的周长是20. 3.已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点坐标是(0,1),则实数k的值是　　　　.  解析:椭圆方程可化为x2+=1, 由题意知 解得k=2. 答案:2 4.椭圆9x2+5y2=45的离心率为　　　　.  解析:由9x2+5y2=45,得+=1, 则a=3,c==2,可知e==. 答案: 5.若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围为　　　　.   解析:由题可知,1-m>m>0, 解得0<m<, 所以实数m的取值范围为(0,). 答案:(0,) 椭圆的定义及应用 1.已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程是(　D　) A.-=1 B.+=1 C.-=1 D.+=1 解析:设动圆的圆心M(x,y),半径为r, 圆M与圆C1:(x-4)2+y2=169内切, 与圆C2:(x+4)2+y2=9外切, 所以|MC1|=13-r,|MC2|=3+r. |MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8,由椭圆的定义,M的轨迹是以C1,C2为焦点,长轴长为16的椭圆,则a=8,c=4,所以b2=82-42=48,动圆圆心M的轨迹方程为+=1. 2.若动点M(x,y)满足方程+=10,则动点M的轨迹方程为(　B　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:方程+=10的几何意义为动点M(x,y)到两个定点(±2,0)的距离之和为定值10,且10>2+2,由椭圆的定义