第八章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（浙江专用）

第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系 [课程标准要求] 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 1.直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系常用的两种方法: (1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.d<r⇔相交;d=r⇔相切;d>r⇔相离. (2)代数法: 判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法. 2.圆与圆的位置关系 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0). 位置 关系 方法 公切线 条数 几何法:圆心距d与r1,r2的关系 代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况 外离 d>r1+r2 无解 4 外切 d=r1+r2 一组实数解 3 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两组不同的实数解 2 内切 d=|r1-r2|(r1≠r2) 一组实数解 1 内含 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 无解 0 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2. 2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线. 无论两圆外切还是内切,将两圆方程(方程等号右边是0的形式),左右两边直接作差,消去x2,y2得到两圆的公切线方程. 3.两圆相交时公共弦的性质 圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0)相交时: (1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程; (2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦; (3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2). 1.(选择性必修第一册P93T1改编)直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(　B　) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 解析:圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离d==1.因为d=r,所以直线与圆相切. 2.(选择性必修第一册P93T3改编)直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于(　D　) A. B. C.2 D. 解析:圆心(-2,2)到直线x-y+3=0的距离d=,圆的半径r=,解直角三角形得,半弦长为,所以弦长等于. 3.圆Q:x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为(　D　) A.x+y-2=0 B.x+y-4=0 C.x-y+4=0 D.x-y+2=0 解析:因为点P在圆上,且圆心Q的坐标为(2,0),所以kPQ==-, 所以切线的斜率k=, 所以切线方程为y-=(x-1), 即x-y+2=0. 4.(选择性必修第一册P98T1改编)圆O1:(x-1)2+y2=1与圆O2:x2+(y+2)2=4的位置关系是(　C　) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 解析:圆心O1(1,0),半径r1=1,圆心O2(0,-2),半径r2=2,所以圆心距|O1O2|==,r1+r2=3,r2-r1=1,所以r2-r1<|O1O2|<r1+r2,即两圆的位置关系为相交. 5.圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-2)2=4的公共弦所在直线的方程为　　　　　　　　.  解析:根据题意(x-2)2+y2=4, 即x2+y2-4x=0,① x2+(y-2)2=4,即x2+y2-4y=0.② 由②-①得x-y=0,即为两圆公共弦所在直线的方程. 答案:x-y=0 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系的判断 [例1] 已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0和直线l:kx-y+3-4k=0的位置关系是(　　) A.相交、相切或相离 B.相交或相切 C.相交 D.相切 解析:圆C:x2+y2-6x-8y+21=0,即(x-3)2+(y-4)2=22,圆心为C(3,4),半径为r=2. 法一　直线l:kx-y+3-4k=0,即k(x-4)-y+3=0,所以直线l过定点B(4,3). (4-3)2+(3-4)2=2<4,所以点B(4,3)在圆C内,所以直线l与圆C相交.故选C. 法二　圆心C(3,4)到直线l:kx-y+3-4k=0的距离为===≤<4,所以直线与圆相交.故选C. 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法:利用d与r的关系. (2)代数