第八章 第3节 圆的方程-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（浙江专用）

第3节　圆的方程 [课程标准要求] 1.掌握圆的标准方程的特征,能根据所给条件求圆的标准方程. 2.掌握圆的一般方程,能对圆的一般方程与标准方程进行互化,了解二元二次方程表示圆的条件. 1.圆的定义与方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 标准 方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆心为(a,b) 半径为r 一般 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 充要条件: D2+E2-4F>0 圆心坐标: (-,-) 半径: r= 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F为常数)具有以下特点:(1)x2,y2项的系数均为1;(2)没有xy项;(3)D2+E2-4F>0. 2.点与圆的位置关系 点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系: (1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2. (2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2. (3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2. 1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 2.同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数. 1.(选择性必修第一册P85T2改编)已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16,下列各点中在圆内的是(　D　) A.(2,2) B.(1,3) C.(-1,-2) D.(0,-1) 解析:A中(2-3)2+(2+2)2=17>16在圆外; B中(1-3)2+(3+2)2=29>16在圆外; C中(-1-3)2+(-2+2)2=16在圆上; D中(0-3)2+(-1+2)2=10<16在圆内. 2.已知圆x2+y2+x+4y-m=0的半径为,则m的值为(　C　) A.1 B.2 C.-4 D.8 解析:由x2+y2+x+4y-m=0得(x+)2+(y+2)2=m+4+,所以m+4+=, 所以m=-4. 3.(选择性必修第一册P85T1改编)与圆(x-1)2+y2=4同圆心且经过点P(-2,4)的圆的标准方程为(　D　) A.(x-1)2+y2=17 B.(x+1)2+y2=25 C.(x+1)2+y2=17 D.(x-1)2+y2=25 解析:由圆(x-1)2+y2=4的方程可知圆心为(1,0),设所求圆的方程为(x-1)2+y2=r2(r>0),点P(-2,4)代入得(-2-1)2+42=r2,解得r=5,所以圆的标准方程为(x-1)2+y2=25. 4.圆心在y轴上,半径长为1,且过点(1,2)的圆的一般方程是　　　　　　　　.  解析:设圆心坐标为(0,b), 则(0-1)2+(b-2)2=12,解得b=2. 所以圆心为(0,2), 所以圆的方程为x2+(y-2)2=1. 即x2+y2-4y+3=0. 答案:x2+y2-4y+3=0 圆的方程 [例1] (1)过点A(1,-1)与B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程为(　　) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 (2)已知三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以P(2,-1)为圆心作一个圆,使得A,B,C三点中的一个点在圆内,一个点在圆上,一个点在圆外,这个圆的方程为　　　　　　　.  解析:(1)法一(待定系数法)　设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 则解得 故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.故选C. 法二(几何法)　圆心一定在AB的中垂线上,AB的中垂线方程为y=x.由得圆心为(1,1),所以r==2, 所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.故选C. (2)由题设知|PA|=,|PB|=,|PC|=5,所以|PA|<|PB|<|PC|,要使A,B,C三点中的一个点在圆内,一个点在圆上,一个点在圆外,所以圆以|PB|为半径, 故圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=13. 答案:(1)C　(2)(x-2)2+(y+1)2=13 求圆的方程的两种方法 几何法 根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程 待定 系数法 ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值. ②若已知条件中涉及圆上的点的坐标,常选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值 [针对训练] (1)在平面直角坐标系中,四点坐标分别为(2,0),(3,2-),(1