第八章 第2节 直线的交点坐标与距离公式-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（浙江专用）

第2节　直线的交点坐标与距离公式 [课程标准要求] 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 1.两条直线的位置关系 (1)两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 y=k1x+b1,y=k2x+b2 A1x+B1y+C1=0(+≠0),A2x+B2y+C2=0(+≠0) 相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0 垂直 k1k2=-1 A1A2+B1B2=0 平行 k1=k2,且 b1≠b2 或 重合 k1=k2,且 b1=b2 A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0 (2)两条直线的交点坐标 若直线l1:A1x+B1y+C1=0(+≠0),l2:A2x+B2y+C2=0(+≠0)相交,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解. (1)两条不重合的直线,斜率都不存在时,它们也平行. (2)涉及含参数的两条直线垂直时,不要忽略一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况. (3)直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个法向量v=(A,B),一个方向向量a=(-B,A). 2.三种距离 三种距离 条件 公式 两点间 的距离 A(x1,y1),B(x2,y2) |AB|= 点到直 线的距 离 P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的距离为d d= 两条平 行直线 间的 距离 直线Ax+By+C1=0与直线Ax+By+C2=0(A2+B2≠0)间的距离为d d= (1)应用点到直线的距离公式时应将方程化为最简的一般形式;(2)当两点A(x1,y1),B(x2,y2)中x1=x2时,直线AB∥y轴,此时|AB|=|y1-y2|;y1=y2时,直线AB∥x轴,此时|AB|=|x1-x2|.点P(x0,y0)到直线x=a的距离是d=|x0-a|,点P(x0,y0)到直线y=b的距离是d=|y0-b|. 1.直线系方程 (1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C). (2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R). (3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(+≠0)与l2:A2x+B2y+C2=0(+≠0)的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2. 2.点关于特殊的直线的对称问题的结论: 点的坐标 对称直线 对称点的坐标 点P(x0,y0) y=x (y0,x0) y=-x (-y0,-x0) x+y+t=0 (-t-y0,-t-x0) x-y+t=0 (y0-t,x0+t) 1.若直线l1:x-2y=0与l2:2x-ay+3=0构成的方程组无解,则实数a的值为(　D　) A.2 B.3 C.-2 D.4 解析:由题意知两直线平行, 则1×(-a)-2×(-2)=0,得a=4. 2.直线l1:3x+4y-7=0与直线l2:6x+8y+1=0之间的距离为(　D　) A.8 B.4 C. D. 解析:因为l1∥l2,所以直线l1与直线l2之间的距离d==. 3.已知点P(3,1)到直线l:x+ay-3=0的距离为,则a=　　　　　.  解析:由点到直线的距离公式得=, 解得a=±. 答案:± 4.(选择性必修第一册P67T8改编)过点(0,3),且与直线x+y+1=0垂直的直线方程是　　　　　　　　　,平行的直线方程是　　　　　　　　　.  解析:与直线x+y+1=0垂直的直线方程可设为y-x+t=0,将(0,3)代入可得t=-3,即x-y+3=0.与直线x+y+1=0平行的直线方程可设为x+y+λ=0(λ≠1),将(0,3)代入可得λ=-3,即x+y-3=0. 答案:x-y+3=0　x+y-3=0 5.若直线l1:x+ay-4=0与直线l2:bx-y+5=0的交点坐标是P(2,1),则a=　　　　　,b=　　　　　　.  解析:将P(2,1)分别代入直线l1:x+ay-4=0与l2:bx-y+5=0的方程可得a=2,b=-2. 答案:2　-2 两条直线的位置关系 [例1] (1)直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,则m=　　　　,若l1⊥l2,则m=　　　　;  (2)经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为　　　　　　　.  解析:(1)若l1∥l2,则有=≠(m≠0), 故m=2或-3. 若l1⊥l2