第五章 第4节 数列求和-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（浙江专用）

第4节　数列求和 [课程标准要求] 1.掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法. 数列求和的基本方法 (1)公式法 ①等差数列的前n项和公式 Sn==na1+d. ②等比数列的前n项和公式 Sn=. ③一些常见的数列的前n项和: (ⅰ)k=1+2+3+…+n=n(n+1), 2k=2+4+6+…+2n=n(n+1); (ⅱ)(2k-1)=1+3+5+…+(2n-1)=n2; (ⅲ)k2=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1); (ⅳ)k3=13+23+33+…+n3=[]2. (2)几种数列求和的常用方法 ①分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减. ②裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律),从而求得前n项和. ③错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解. ④倒序相加法:如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. ⑤并项求和法:一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解. 1.数列,,,…,,…的前n项和为(　D　) A. B. C. D. 解析:因为=-), 所以++…+=-+-+…+-)=-)=. 2.数列1,,,,,,…,,,,…,,…的前25项和为(　B　) A. B. C. D. 解析:所求前25项和为T25=1++++++…++++++++++=. 3.求和:12-22+32-42+…+992-1002=　　　　.  解析:T=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+…+(99+100)(99-100)=-(1+2+…+100)= -=-5 050. 答案:-5 050 4.求和:Tn=1×1+2×2+3×22+…+n·2n-1=　　　　.  解析:Tn=1×1+2×2+3×22+…+n·2n-1, 2Tn=1×2+2×22+…+(n-1)·2n-1+n·2n, 所以-Tn=1+2+22+…+-n·2n=-n·2n,所以Tn=1+(n-1)2n. 答案:1+(n-1)·2n 分组求和法 [例1] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且关于x的不等式a1x2-S2x+2<0的解集为(1,2). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足bn=a2n+-1,求数列{bn}的前n项和Tn. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 因为关于x的不等式a1x2-S2x+2<0的解集为(1,2), 所以=1+2=3. 又S2=2a1+d,所以a1=d, 易知=2, 所以a1=1,d=1. 所以数列{an}的通项公式为an=n. (2)由(1)可得,a2n=2n,=2n. 因为bn=a2n+-1, 所以bn=2n-1+2n, 所以数列{bn}的前n项和Tn=[1+3+5+…+(2n-1)]+(2+22+23+…+2n)=+=n2+2n+1-2. 分组求和法的常见类型 (1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组法求{an}的前n项和. (2)通项公式为an=的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组法求和. [针对训练] (2023·广西柳州模拟)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*). (1)证明{an+1}是等比数列,并求{an}的通项公式; (2)求数列{an+n+1}的前n项和Sn. (1)证明:因为an+1=2an+1, 所以an+1+1=2(an+1), 又a1+1=2≠0, 所以{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列. 所以an+1=2n,即an=2n-1. (2)解:由(1)知an=2n-1, 令bn=an+n+1, 则bn=2n+n, 所以Sn=b1+b2+…+bn=(21+1)+(22+2)+…+(2n+n) =(21+22+…+2n)+(1+2+…+n) =+=2n+1+-2. 裂项相消法 [例2] 已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. 解:(1)由题设知a1a4=a2a3=8, 又a1+a4=9, 解得或(舍去). 设等比数列{an}的公比为q, 由a4=a1q3得q=2, 故an=a1qn-1=2n-1,n∈N*. (2)Sn==2n-1, 又bn=