第五章 第3节 等比数列-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（浙江专用）

第3节　等比数列 [课程标准要求] 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系. 1.等比数列的有关概念 (1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(显然q≠0),定义的表达式为=q(n∈N*,q为非零常数). (2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇒a,G,b成等比数列⇒G2=ab. 2.等比数列的有关公式 等比数列{an}的首项为a1,公比为q. (1)通项公式:an=a1qn-1. (2)前n项和公式: Sn= 3.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*). (2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=ap·aq=. (3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},{},{},{an·bn},{}(λ≠0)仍然是等比数列. (4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk. (5)在等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列(n为偶数且q≠-1). (1)任意两个实数不一定都有等比中项,只有同号的两个非零实数才有等比中项. (2)an=·qn,当q>0,且q≠1时,可以看成函数y=cqn,是一个不为0的常数与指数函数的乘积,因此数列{an}各项所对应的点都在函数y=cqx的图象上;当q=1时,{an}为非零常数列. (3)Sn==-qn+(q≠1),若设a=,则Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0,q≠1).由此可知,数列{Sn}的图象是函数y=-aqx+a图象上一系列孤立的点. 对于常数列的等比数列,即q=1时, 因为a1≠0, 所以Sn=na1,由此可知,数列{Sn}的图象是函数y=a1x图象上一系列孤立的点. 1.若a是1和3的等差中项,b是1和4的等比中项,则的值为(　D　) A.± B. C.1 D.±1 解析:由题知2a=1+3,所以a=2.由b2=4得b=±2,所以=±1. 2.(多选题)已知数列{an}是等比数列,那么下列数列一定是等比数列的是(　AD　) A.{} B.log2 C.{an+an+1} D.{an+an+1+an+2} 解析:等比数列{an}的通项an=1时,log2=0,数列{log2}不是等比数列, 等比数列{an}的公比q=-1时,an+an+1=0,数列{an+an+1}不是等比数列, 由等比数列的定义知{}和{an+an+1+an+2}都是等比数列. 3.在等比数列{an}中,若a3=1,a11=25,则a7等于(　A　) A.5 B.-5 C.±5 D.±25 解析:设等比数列{an}的公比为q, 则q8==25,q4=5, 则a7=a3q4=1×5=5. 4.(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则等于(　B　) A.2n-1 B.2-21-n C.2-2n-1 D.21-n-1 解析:设等比数列{an}的公比为q,则由 解得 所以Sn==2n-1,an=a1qn-1=2n-1, 所以==2-21-n. 等比数列的基本量运算 1.(多选题)已知等比数列{an}的公比为q,a3=4且a2,a3+1,a4成等差数列,则q的值可能为(　AC　) A. B.1 C.2 D.3 解析:由已知a2+a4=2(a3+1),a3(q+)=2(a3+1),又a3=4,所以q+=, 解得q=2或. 2.等比数列{an}中,a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=6,则{an}的前12项和为(　C　) A.90 B.60 C.45 D.32 解析:设数列的公比为q,则=q3=2, 所以a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=6×2=12,同理a10+a11+a12=24, 所以S12=(a1+a2+a3)+…+(a10+a11+a12)=3+6+12+24=45. 3.(多选题)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a2=6,a5=48,则下列结论正确的是(　BD　) A.a3=9 B.an=3×2n-1 C.Sn=3n-1 D.Sn=3×(2n-1) 解析:因为等比数列{an}中,a2=6,a5=48, 则q3=8,即q=2,a1=3, 所以a3=a2q=12,A错误; an=a1·qn-1=3·2n-1,B正确;