“4翼”检测评价（16） 空间向量运算的坐标表示（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第2册（湘教版2019）

“四翼”检测评价（十六） 空间向量运算的坐标表示 (一)基础落实 1.若向量a＝(2,0，－1)，b＝(0,1，－2)，则2a－b＝(　 ) A.(－4,1,0) B.(－4,1，－4) C.(4，－1,0) D.(4，－1，－4) 解析：选C　因为向量a＝(2,0，－1)，所以2a＝(4,0，－2)，又向量b＝(0,1，－2)，所以2a－b＝(4,0，－2)－(0,1，－2)＝(4，－1,0).故选C. 2.若向量a，b的坐标满足a＋b＝(－2，－1,2)，a－b＝(4，－3，－2)，则a·b等于(　 ) A.5 B.－5 C.7 D.－1 解析：选B　∵a＋b＝(－2，－1,2)，a－b＝(4，－3，－2)，∴两式相加得2a＝(2，－4,0)，解得a＝(1，－2，0)，∴b＝(－3,1,2)，∴a·b＝1×(－3)＋(－2)×1＋0×2＝－5.故选B. 3.空间直角坐标系中的点A(3,3,1)关于平面Oxy的对称点A′与点B(－1，1,5)间的距离为(　 ) A.6 B.2 C.4 D.2 解析：选D　由题意得，A′(3,3，－1)，所以＝(－4，－2,6)，所以＝＝2.故选D. 4.若向量a＝(x，－4，－5)，b＝(1，－2,2)，且a与b的夹角的余弦值为－，则实数x的值为(　 ) A.－3 B.11 C.3 D.－3或11 解析：选A　根据公式cos〈a，b〉＝＝＝－，∴＝－，解得x＝－3.故选A. 5.(多选)如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足〈，〉＝90°的是(　 ) 解析：选AD　对于A，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P(0,0,1)，O(1,1,0)，M(2,2,2)，N(0,2,0)，故＝(－2,0，－2)，＝(－1，－1,1)，所以·＝(－2)×(－1)＋0×(－1)＋(－2)×1＝2＋0－2＝0.所以〈，〉＝90°.故A正确. 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P(0,2,1)，O(1,1,0)，M(2,0,2)，N(0,2，2)，故＝(－2，2,0)，＝(－1,1,1)，所以·＝(－2)×(－1)＋2×1＋0×1＝2＋2＋0＝4.所以〈，〉≠90°.故B错误. 对于C，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P(2,1,2)，O(1,1,0)，M(0,2,2)，N(0,0，0)，故＝(0，－2，－2)，＝(1,0,2)，所以·＝0×1＋(－2)×0＋(－2)×2＝0＋0－4＝－4.所以〈，〉≠90°.故C错误. 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P(2,0,1)，O(1,1,0)，M(0,0,2)，N(2,0,0)，故＝(2,0，－2)，＝(1，－1,1)，所以·＝2×1＋0×(－1)＋(－2)×1＝2＋0－2＝0.所以〈，〉＝90°.故D正确.故选A、D. 6.如图，以长方体ABCD­A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4,3,2)，则的坐标为__________. 解析：因为点D(0,0,0)，＝(4,3,2)，所以B1(4,3,2)，即AD＝4，CD＝3，DD1＝2，所以A(4,0,0)，C1(0，3,2)，因此＝(－4,3,2). 答案：(－4,3,2) 7.已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________. 解析：由题知，b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋02＝5t2－2t＋2＝52＋.∴(|b－a|2)min＝.∴|b－a|min＝. 答案： 8.若a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1,1)，a与b的夹角为120°，则λ的值为________. 解析：由题知，a·b＝－2－λ－2＝－λ－4，|a|＝＝，|b|＝＝，故cos 120°＝＝＝－，解得λ＝17或λ＝－1. 答案：17或－1 9.已知正三棱柱ABC­A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求三棱柱的侧棱长； (2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值. 解：(1)设正三棱柱的侧棱长为h，由题意得A(0，－1，0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，B1(，0，h)，C1(0,1，h)，则＝(，1，h)，＝(－，1，h)， 因为AB1⊥BC1，所以·＝－3＋1＋h2＝0， 所以h＝. (2)由(1)可知＝(，1，)，＝(－，1,0)，所以·＝－3＋1＝－2.因为||＝，||＝2，所以cos〈，〉＝＝－. 所以异面直线AB1与BC所成角