“4翼”检测评价（15） 空间向量的分解与坐标表示（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第2册（湘教版2019）

“四翼”检测评价（十五） 空间向量的分解与坐标表示 (一)基础落实 1.(多选)在空间四点O，A，B，C中，若{，，}是空间的一组基，则下列说法正确的是(　 ) A.O，A，B，C四点不共线 B.O，A，B，C四点共面，但不共线 C.O，A，B，C四点不共面 D.O，A，B，C四点中任意三点不共线 解析：选ACD　A正确，若四点共线，则，，共面，构不成基；B错误，C正确，若四点共面，则，，共面，构不成基；D正确，若有三点共线，则这四点共面，，，构不成基. 2.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一组基的一组向量是(　 ) A.3a，a－b，a＋2b B.2b，b－2a，b＋2a C.a,2b，b－c D.c，a＋c，a－c 解析：选C　因为a，b，c不共面，故a,2b，b－c也不共面，能构成空间的一组基.其他选项皆共面. 3.已知{e1，e2，e3}是标准正交基，则空间向量－2e1＋2(e2－3e3)的坐标是(　 ) A.(－2,2，－6) B.(－2,1，－3) C.(－2,2，－3) D.(2,2，－3) 解析：选A　根据空间向量的坐标表示的定义可知 －2e1＋2(e2－3e3)＝－2e1＋2e2－6e3，因为{e1，e2，e3}是标准正交基， 所以空间向量－2e1＋2(e2－3e3)的坐标是(－2,2，－6).故选A. 4.已知{e1，e2，e3}为空间的一组基，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ分别为(　 ) A.，－1，－ B.，1， C.－，1，－ D.，1，－ 解析：选A　由题意，知d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.又d＝e1＋2e2＋3e3，所以解得 5.如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是(　 ) A.0 B. C. D. 解析：选A　取{，，}为空间的一组基.根据题意，可得·＝(＋＋)·(＋＋)＝·＝2－2－2＝×4－1－×4＝0，所以和垂直，即A1E⊥GF，故A1E与GF所成角的余弦值为0. 6.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以{，，}为空间的一组基，则向量的坐标为________，向量的坐标为______，向量的坐标为________. 解析：因为＝＋＋＝＋＋，所以向量的坐标为. 因为＝＋＋＝＋＋， 所以向量的坐标为. 因为＝＋＋， 所以向量的坐标为(1,1,1). 答案：　　(1,1,1) 7.在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基{a，b，c}表示下列各向量： (1)＝________；(2)＝________. 解析：连接AC，AD′(图略). (1)＝＝＝(a＋b＋c). (2)＝＝＝a＋b＋c. 答案：(1)(a＋b＋c)　(2)a＋b＋c 8.在正四面体PABC中，M是PA上的点，且PM＝2MA，N是BC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z的值为________. 解析：如图所示，连接PN，AN.＝＋＝－＋(＋)＝－＋＋，∴x＝－，y＝，z＝.∴x＋y＋z＝. 答案： 9.在空间四边形OABC中，E是线段BC的中点，G在线段AE上，且AG＝2GE. (1)试用{，，}表示向量； (2)若OA＝2，OB＝3，OC＝4，∠AOC＝∠BOC＝60°，求·的值. 解：(1)∵＝2，∴－＝2(－)， ∴3＝2＋，又2＝＋， ∴＝＋＋. (2)由(1)可知，＝＋＋，＝－，又∠AOC＝∠BOC＝60°，∴·＝·(－)＝－＋＋·－·＝－×22＋×32＋×3×4×cos 60°－×2×4×cos 60°＝，即·的值为. 10.如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标. 解：因为PA＝AB＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以，，是两两垂直的单位向量. 设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为标准正交基建立空间直角坐标系A­xyz，连接AC. 如图所示，因为＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋(＋)＝－＋＋(＋＋)＝＋＝e2＋e3. 所以＝. (二)综合应用 11.(多选)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则与直线CE不垂直的有(　 ) A.AC