“4翼”检测评价（10） 3次函数的性质：单调区间和极值（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第2册（湘教版2019）

“四翼”检测评价（十） 三次函数的性质：单调区间和极值 (一)基础落实 1.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，|x1|＜|x2|，则有(　 ) A.a＞0，b＞0，c＜0，d＞0 B.a＜0，b＞0，c＜0，d＞0 C.a＜0，b＜0，c＞0，d＞0 D.a＞0，b＜0，c＞0，d＜0 解析：选C　由f(x)图象可得f(0)＝d＞0.∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知，f′(x)的图象如图.∴a＜0，c＞0，－＜0⇒b＜0. 2.函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(　 ) A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值 C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值 解析：选D　f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是减函数，无最大值和最小值，故选D. 3.若函数f(x)＝－x3＋mx2＋1(m≠0)在区间(0,2)内的极大值为最大值，则m的取值范围是(　 ) A.(0,3) B.(－3,0) C.(－∞，－3) D.(3，＋∞) 解析：选A　由题得f′(x)＝－3x2＋2mx，令f′(x)＝0，得x＝或x＝0，因为f(x)在区间(0,2)上的极大值为最大值，所以0<<2，所以0<m<3. 4.函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　f′(x)＝ex(sin x＋cos x)＋ex(cos x－sin x)＝ex cos x，当0≤x≤时，f′(x)≥0，∴f(x)在上是增函数.∴f(x)的最大值为f＝e，f(x)的最小值为f(0)＝.故函数f(x)在区间上的值域为. 5.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________. 解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，因为函数f(x)既有极大值又有极小值，所以方程f′(x)＝0有两个不等根，∴Δ＝36a2－4×3×3(a＋2)＞0，解得a＜－1或a＞2. 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 6.函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是________. 解析：由y′＝1－2sin x＝0，结合x∈，得x＝，比较0，，处的函数值，得当x＝时，函数取得最大值，即ymax＝＋2cos＝＋. 答案：＋ 7.若函数f(x)＝3x－x3在区间(a－1，a)内有最小值，则实数a的取值范围是________. 解析：f′(x)＝3－3x2＝－3(x－1)(x＋1)，当x＜－1或x＞1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜1时，f′(x)＞0，∴x＝－1是函数f(x)的极小值点. ∵函数f(x)＝3x－x3在区间(a－1，a)上有最小值，即为极小值. ∴a－1＜－1＜a，解得－1＜a＜0. 答案：(－1,0) 8.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1. (1)求a，b的值； (2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值. 解：(1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4， ∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2， 又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得， 又f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 而由切线y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3， ∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0， 由解得 ∴a＝2，b＝－4. (2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)， 令f′(x)＝0，得x＝或x＝－2. 当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表： x －3 (－3，－2) －2 1 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 8 递增 极大值 递减 极小值 递增 4 ∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f＝，又f(－3)＝8，f(1)＝4， ∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13. 9.设函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R. (1)若x＝1时，函数f(x)取得极值，求函数f(x)的图象在x＝－1处的切线方程； (2)若函数f(x)在区间内不单调，求实数a的取值范围. 解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋1， 由f′(1)＝0，得a＝－2， ∴f(x)＝x3－2x2＋x＋1， 当x＝－1时，y＝－3， 即切点为(－1，－3)，k＝f′(x0)＝3x－4x0＋1， 令x0＝－1，得k＝8， ∴切线方程为8x－y＋5＝0. (2)∵f(x)在区间内不单调， 即f′(x)＝0在有解