“4翼”检测评价（2） 瞬时变化率与导数（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第2册（湘教版2019）

“四翼”检测评价（二） 瞬时变化率与导数 (一)基础落实 1.一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是(　 ) A.7 米/秒 B.6 米/秒 C.5 米/秒 D.8 米/秒 解析：选C　∵＝5＋d→5(d→0)，∴s′(3)＝5. 2.设函数y＝f(x)在x0附近有定义，且有f(x0＋d)－f(x0)＝ad＋bd2(a，b为常数)，则(　 ) A.f′(x)＝a B.f′(x)＝b C.f′(x0)＝a D.f′(x0)＝b 解析：选C　Δy＝f(x0＋d)－f(x0)＝ad＋bd2(a，b为常数)，＝a＋bd，当d趋近于0时，a＋bd趋近于a，故f′(x0)＝a. 3.函数f(x)＝x2＋1在x＝2处的瞬时变化率为(　 ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析：选B　因为f(x)＝x2＋1，所以＝4＋d.当d→0时，4＋d→4. 4.若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是(　 ) A.1 B.－1 C.±1 D.3 解析：选C　∵Δy＝f(x0＋d)－f(x0)＝(x0＋d)3－x＝3xd＋3x0d2＋d3， ∴＝3x＋3x0d＋d2. 当d→0时，3x＋3x0d＋d2→3x. 由f′(x0)＝3，得3x＝3，∴x0＝±1. 5.已知函数y＝f(x)在x＝1处的导数值为2，则当d趋近于0时，趋近于________. 解析：∵＝＝2×，由题设知当d趋近于0时，趋近于2，∴→2×2＝4. 答案：4 6.一物体的运动方程为s(t)＝7t2－13t＋8，则t0＝________时该物体的瞬时速度为1. 解析： ＝ ＝14t0－13＋7d，当d→0时，14t0－13趋近于1，即14t0－13＝1，解得t0＝1. 答案：1 7.一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s)的函数，且y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义. 解：＝＝3，根据导数的定义知f′(2)＝3.f′(2)的意义是：水流在2 s时的瞬时流量为3 m3/s，即如果保持这一速度，每经过1 s，水管中流过的水量为3 m3. 8.一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s). (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在t＝2时的瞬时速度； (3)求t＝0到t＝2时的平均速度. 解：(1)＝＝3－d， 当d→0时，3－d→3，即物体的初速度为3 m/s. (2)＝ ＝－d－1， 即当d→0时，－d－1→－1，即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反. (3)＝＝＝1， 即t＝0 s到t＝2 s时的平均速度为1 m/s. (二)综合应用 9.已知物体做直线运动的方程为s＝s(t)，则s′(4)＝10表示的意义是(　 ) A.经过4 s后物体向前走了10 m B.物体在前4秒内的平均速度为10 m/s C.物体在第4秒内向前走了10 m D.物体在第4秒末的瞬时速度为10 m/s 解析：选D　由导数的意义知s′(4)＝10表示物体在第4秒时的瞬时速度为10 m/s.故选D. 10.已知函数f(x)在x＝x0处的导数为12，则当d趋近于0时，趋近于(　 ) A.－4 B.4 C.－36 D.36 解析：选A　根据题意，函数f(x)在x＝x0处的导数为12，则＝－×，当d趋近于0时，趋近于12，故趋近于－4. 11.有一边长为10 cm的正方形铁板(此时铁板温度为0 ℃)，加热后铁板会膨胀，已知铁板温度为t ℃(t>0)时，其边长膨胀为10(1＋at)cm，其中a为常数，求铁板面积对温度t的瞬时膨胀率. 解：设温度的增量为d，则铁板面积的增量为ΔS＝100[1＋a(t＋d)]2－100(1＋at)2＝200(a＋a2t)d＋100a2d2，则＝200(a＋a2t)＋100a2d，当d→0时，→200a(1＋at)，即S′(t)＝200a(1＋at).故铁板面积对温度t的瞬时膨胀率为200a(1＋at). 12.设函数f(x)的定义域为所有非零实数，对任意的非零实数x，y均有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f′(1) 存在，试讨论f′(x) 还在哪些点处存在？并求出f′(x)的表达式(用f′(1)表示). 解：由f(xy)＝f(x)＋f(y)，得f(y)＝f(1)＋f(y)，则f(1)＝0.所以对任意不为零的实数x，有f′(x)＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ·＝ .所以f′(x) 对所有非零实数x都存在，且f′(x)＝ . 学科网（北京）股份有限公司 $$