2.4.4 向量与距离（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2.4.4　向量与距离 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题. 2.体会向量方法在解决几何问题中的作用. 重点难点 重点：会用空间向量方法求立体几何中的距离问题. 难点：理解距离的向量表示及求解方法. 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容 3.4 浸润学科素养和核心价值 2 1.点到直线的距离 (1)定义 (2)公式 2.点到平面的距离 (1)定义 平面外一点P到平面α的距离d等于点P到平面α的垂线段PB的长度. (2)公式 3.两平行平面间的距离 (1)定义 两平行平面α，β之间的距离等于平面α上任一点A到平面β的距离，也等于两平面之间任一条线段AB在平面α的法向量n上的________. 投影长 1.判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)用向量法求点线距，是将点线距转化为已知点与直线上一点构成的向量在与直线垂直的向量方向上的投影向量的模.(　 ) (2)用向量法求点面距，是将点面距转化为已知点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的模.(　 ) (3)两异面直线间的距离可以转化成线面距，进而可转化成点面距.(　 ) (4)两平行直线间的距离可以转化成点线距.(　 ) (5)线面距、面面距可以转化成点面距.(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√ 2.已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1，3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为(　 ) 答案：D　 [题点一] 向量法求点到直线的距离 [典例1]　如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD­A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，则点B到直线A′C的距离为__________. 方法技巧 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 对点训练 答案：B　 解析： 建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)， [题点二] 向量法求点面距 方法技巧 用向量法求点面距的步骤 对点训练 2.已知A(2,2,0)，B(1,4,2)，C(0,0,1)，则原点O到平面ABC的距离为________. 解：取AC的中点O，连接OS，OB.∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO. ∵平面SAC⊥平面ABC， 平面SAC∩平面ABC＝AC， ∴SO⊥平面ABC.又BO⊂平面ABC， [题点三] [典例3]　设正方体ABCD-­A1B1C1D1的棱长为2. (1)求直线B1C到平面A1BD的距离； (2)求平面A1BD与平面B1CD1间的距离. 向量法求直线到平面、平面到平面的距离 方法技巧 线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行. 点面距的求解步骤： (1)求出该平面的一个法向量； (2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； (3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离. 对点训练 4.已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC和AC的中点.PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点. (1)求证：AE∥平面PFQ； (2)求AE与平面PFQ间的距离. 一、在典题训练中内化学科素养 距离问题在立体几何中有直接求点线距、点面距，或者可转化为这两类问题的题型，如线线距、线面距、面面距或者求一几何体的高.在高考中时有考查，一般采用向量法求解.重点是理解掌握这两种距离的求法根据，在解题过程中体现了对直观想象、数学运算、逻辑思维等核心素养的考查. 如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.求点C到平面C1DE的距离. 内化素养 逻辑推理 根据直四棱柱特征，得出DE⊥BC，进而得出DA，DE，DD1两两垂直.建系，求得平面C1DE的法向量，得到点C到平面C1DE的距离 数学运算 向量的运算，方程组的求解等 二、在导向训练中品悟核心价值 发展理性思维 A.－1 B.－11 C.－1或－11 D.－21 答案：C　 2.正方体ABCD-­A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为________. ∴平面AMN∥平面EFBD. 设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量， 强化拓广探索 3.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果