2.4.3 向量与夹角（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2.4.3　向量与夹角 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能用向量方法解决简单夹角问题. 2.通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 重点 难点 重点：利用空间向量求空间角. 难点：利用空间向量求空间角. 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容 3.4 浸润学科素养和核心价值 2 2.直线与平面所成的角 当直线l与平面α相交且不垂直时，设它们所成的角为θ，v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，v与n的夹角为φ，有sin θ＝|cos φ|＝|cos〈v，n〉|＝__________. 3.两个平面所成的角 设两个平面α1和α2所成的角为θ，平面α1，α2的法向量分别为n1和n2，记〈n1，n2〉＝φ，有cos θ＝|cos φ|＝_______________. |cos〈n1，n2〉| 1.判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.(　 ) (2)直线l与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角.(　 ) (3)若二面角α-­l-­β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则θ＝〈n1，n2〉.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)× A.30° B.60° C.120° D.150° 答案：A 3.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为(　 ) A.45° B.135° C.45°或135° D.90° 答案：C [题点一] 向量法求异面直线所成的角 [典例1]　如图，在直三棱柱A1B1C1-­ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点.求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值. 方法技巧 求异面直线所成角的方法 运用向量法常有两种途径： (2)坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单.　　 对点训练 1.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC­-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　 ) 答案：A　 [题点二] [解]　建立如图所示的空间直角坐标系， 向量法求直线与平面所成的角 方法技巧 求线面角的两种思路 (1)线面角转化为线线角.根据直线与平面所成角的定义，确定出待求角，转化为直线的夹角来求解，此时要注意两直线夹角的取值范围. 对点训练 2.如图，在直四棱柱ABCD­-A1B1C1D1中，AB∥CD，DC＝2，AA1＝3，AB＝BC＝AD＝1，点E和F分别在侧棱AA1，CC1上，且A1E＝CF＝1. 求直线AD与平面D1EF所成角的正弦值. 解：以点A为坐标原点，AB为x轴，平面ABCD内垂直于AB的直线为y轴，AA1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， [题点三] [典例3]　如图，四棱柱ABCD­-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. 向量法求平面与平面所成的角 (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面DOB1所成角的余弦值. [解]　(1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD， 又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD. (2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直.如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 设棱长为2，因为∠CBA＝60°， 拓展 本例条件不变，求平面BA1C与平面DAC1所成角的余弦值. 解：建立如图所示的空间直角坐标系. 设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 设平面A1CD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 方法技巧 利用法向量求二面角的大小的一般步骤 对点训练 设平面AA1C1的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 一、在典题训练中内化学科素养 夹角问题是立体几何中一类重要题型，夹角的计算在高考中考查力度大，较多采用向量法解决问题.解题的关键是建立适当的空间直角坐标系，并正确进行向量的坐标运算.在求解过程中体现了对直观想象、数学运算等核心素养的考查. 　(2023·新课标Ⅱ卷)如图，三棱锥A­-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E