2.3.2 空间向量运算的坐标表示（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2.3.2　空间向量运算的坐标表示 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.掌握空间向量运算的坐标表示. 2.掌握空间向量数量积的坐标表示. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式的坐标表示.  重点难点 重点：空间向量运算的坐标表示. 难点：利用向量运算的坐标表示解决立体几何问题. 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容 3.4 浸润学科素养和核心价值 2 (一)向量线性运算的坐标表示 设a＝(x1，x2，x3)，b＝(y1，y2，y3). 名称 坐标表示 加法 a＋b＝___________________________ 减法 a－b＝_______________________ 数乘 λa＝(λx1，λx2，λx3)(λ∈R) 共线 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λy1，x2＝λy2，x3＝λy3(λ∈R) (x1＋y1，x2＋y2，x3＋y3) (x1－y1，x2－y2，x3－y3) 1.下列向量中，与向量a＝(0,0,1)平行的向量为(　 ) A.b＝(1,0,0) B.c＝(0,1,0) C.d＝(－1，－1，－1) D.e＝(0,0，－1) 答案：D 2.已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b等于(　 ) A.(2，－4，2) B.(－2，4，－2) C.(－2，0，－2) D.(2，1，－3) 答案：B (二)向量数量积的坐标表示 设a＝(x1，x2，x3)，b＝(y1，y2，y3). x1y1＋x2y2＋x3y3 x1y1＋x2y2＋x3y3＝0 A.0个 B.3个 C.2个 D.1个 答案：B 2.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，c＝(1，－x，2)，若(a＋b)⊥c，则x＝________. 解析：∵a＋b＝(－2,1，x＋3)，∴(a＋b)·c＝－2－x＋2(x＋3)＝x＋4.又∵(a＋b)⊥c，∴x＋4＝0，即x＝－4. 答案：－4 [题点一] 空间向量的坐标运算 (1)p＋2q； (2)3p－q； (3)(p－q)·(p＋q)； (4)cos〈p，q〉. [解]　因为A(－1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，－1,4)，D(2，－1，－2)， (1)p＋2q＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9). (2)3p－q＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15). (3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－[22＋02＋(－6)2]＝－26. 方法技巧 空间向量的坐标运算方法 一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式： (1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.　　 对点训练 1.若向量a＝(4,2，－4)，b＝(2,1，－1)，则2a－3b＝(　 ) A.(6,3，－7) B.(－2，－1，－1) C.(2,1，－5) D.(14,7，－11) 答案：C　 解析：因为a＝(4,2，－4)，b＝(2,1，－1)，所以2a－3b＝2(4,2，－4)－3(2,1，－1)＝(2,1，－5). 2.若a＝(2，3，－1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为(　 ) A.(4,6，－5) B.5 C.7 D.36 答案：B　 解析：b＋c＝(2,0,3)＋(0,2,2)＝(2,2,5)，a·(b＋c)＝2×2＋2×3＋(－1)×5＝5. [题点二] [典例2]　在正方体ABCD-­A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点. 求证：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH； (2)A1G⊥平面EFD. 利用空间向量的坐标运算证明平行与垂直关系 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1). 方法技巧 判断空间向量垂直或平行的步骤 (1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行. (2)向量关系代数化：写出向量的坐标. [提醒]　由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程(组)求解即可.　　 对点训练 4.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝(　 ) 答案：A 5.已知a＝(λ＋1,1,