2.3.1 空间向量的分解与坐标表示（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2.3.1　空间向量的分解与坐标表示 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.理解空间向量共面的充要条件. 2.理解空间向量基本定理及其意义. 3.掌握空间向量的分解. 重点难点 重点：空间向量基本定理，空间向量的直角坐标表示. 难点：选择恰当的基表示向量. 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容 3.4 浸润学科素养和核心价值 2 (一)共面向量 1.共面向量的定义 一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量. 2.共面向量的充要条件 如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝____________. 这就是说，向量p可以用两个不共线的向量e1，e2线性表示. 在三个向量a，b，c中，某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量______. xe1＋ye2 共面 1.当向量a，b不共线时，a＋2b与2a－b的关系是(　 ) A.共面 B.不共面 C.共线 D.无法确定 答案：A 答案：2 (二)空间向量基本定理 设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p＝________________， 上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则_______________________. 我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组___，e1，e2，e3叫作__________.(x，y，z)称为向量p＝xe1＋ye2＋ze3在基{e1，e2，e3}下的坐标. xe1＋ye2＋ze3 x＝x′，y＝y′，z＝z′ 基 基向量 1.判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基.(　 ) (2)若对向量p可找到三个向量a，b，c，使p＝xa＋yb＋zc，则{a，b，c}可构成空间的一组基.(　 ) (3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}，使0=λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.(　 ) (4)若{a，b，c}为空间的一组基，则a，b，c全不是零向量.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.若{a，b，c}是空间的一组基，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一组基的向量是(　 ) A.a B.b C.c D.2a 答案：C 答案：A (三)空间向量的直角坐标表示 1.标准正交基 空间任意三个两两垂直、____________的向量i，j，k不共面，可将它们组成空间的一组基，我们把这组基称为标准正交基. 长度均为1 2.向量p在正交基下的坐标表示 空间每个向量p都可以分解成基向量的实数倍之和：p＝xi＋yj＋zk，系数x，y，z按顺序排成的实数组(x，y，z)，称为向量p的坐标，记为p＝____________. (x，y，z) 3.空间向量在空间直角坐标系中的坐标表示 一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去_________________. 4.空间向量的投影 向量在坐标轴正方向上的_______分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标. 它的起点的坐标 投影 1.若{e1，e2，e3}是标准正交基，已知p＝e1＋2e2－e3，则向量p的坐标为_______. 答案：(1,2，－1) 2.若向量p在标准正交基{e1，e2，e3}下的坐标是(1,2,3)，则向量p在标准正交基{e1，e2，e3}下的分解式为________. 答案：p＝e1＋2e2＋3e3 [题点一] 空间向量共面问题 方法技巧 对点训练 [题点二] 用空间的基表示向量 [解]　 如图所示，连接AG并延长交BC于点D， 方法技巧 用基表示向量的步骤 定基 根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基 找目标 用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果 下结论 利用空间的一组基{a，b，c}可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量 对点训练 [题点三] [典例3]　如图，在直三棱柱ABC­-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在棱BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.求证： (1)B1D⊥平面ABD； (2)平面EFG∥平面ABD. 空间向量基本定理的应用 方法技巧 基向量的选择和使用