2.2 第2课时 向量的数量积（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第2课时　向量的数量积 明学习目标 知结构体系 课标要求 掌握空间向量的数量积运算. 重点难点 重点：掌握空间向量的夹角和数量积的性质. 难点：投影向量的概念及应用向量的数量积解决立体几何问题. 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容 3.4 浸润学科素养和核心价值 2 1.数量积的定义 如图，由于空间任意两个向量a，b都可以平移到同一个平面OAB内，因此与平面向量夹角的定义一样，我们把∠AOB称为向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其取值范围为__________.定义a·b＝__________________为a与b的数量积. [0，π] |a||b|cos〈a，b〉 2.数量积的性质 (1)a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)； (2)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝___； (3)a·a＝|a|2或|a|＝________＝______； (4)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝_______； (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立). 0 3.数量积满足的运算律 运算律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R a·b＝_______ (交换律) a·(b＋c)＝____________ (分配律) b·a a·b＋a·c 投影向量 投影长 5.数量积的几何意义 a与b的数量积等于a的模|a|与b在a方向上的投影___________的乘积，也等于b的模|b|与a在b方向上的投影__________的乘积. |b|cos α |a|cos α 1.判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (2)若a·b＝0 ，则a＝0 或b＝0.(　 ) (3)对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈－a，－b〉相等.(　 ) (4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.(　 ) (5)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2.如图，在正方体ABCD-­A1B1C1D1中，下列各对向量的夹角为135°的是(　 ) 答案：B [题点一] 空间向量数量积的计算 [典例1]　如图，已知正四面体OABC的棱长为1，求： 方法技巧 1.空间向量的数量积的运算方法 已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算.如果求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算. 2.在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；(4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.　　 对点训练 A.1 B.0 C.－1 D.－2 答案：B　 解析：由题意得，a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0. 答案：A　 [题点二] 利用空间向量数量积求夹角 拓展 2.本例中条件不变，求异面直线CA1与AB夹角的余弦值. 方法技巧 (1)求两个非零向量的夹角可以把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解. (2)利用夹角公式求异面直线所成的角的步骤 对点训练 3.如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值. [题点三] [典例3]　已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC. 利用空间向量数量积证明垂直关系 方法技巧 利用空间向量解决垂直问题的方法 (1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直. (2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积并判断是否为0.　　 对点训练 4.如图，在正方体ABCD-­A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 又OG∩BD＝O，且A1O⊄平面GBD，于是有A1O⊥平面GBD. [题点四] 利用空间向量数量积求两点间的距离 [解]　(1)因为E，F，G是中点，所以 因为正四面体所有棱长为1， 方法技巧 对点训练 5.已知正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC­-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长. 由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2， 且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°. 发展