2.2 第1课时 空间向量的基本概念及线性运算（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2.2　空间向量及其运算 第1课时　空间向量的基本概念及线性运算 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.了解空间向量的概念. 2.掌握空间向量的加减运算. 3.掌握空间向量的数乘运算. 重点难点 重点：理解空间向量的加减、数乘运算. 难点：空间向量线性运算. 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容 3.4 浸润学科素养和核心价值 2 (一)空间向量的基本概念 1.空间向量的定义及表示 大小 方向 大小(或长度) 模 记为|a| 相同 相等 2.几类特殊向量 相等向量 方向相同且长度_______的向量 相反向量 方向______、长度相等的向量 零向量 始点与终点______的向量，记作0，|0|=_____ 相等 相反 重合 0 1.(多选)下列命题中，是真命题的为(　 ) A.若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B.若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝±b C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p 答案：CD A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C (二)空间向量的加减法 b＋a a＋(b＋c) 答案：C 答案：D　 (三)向量与实数相乘 1.向量与实数相乘 在空间中，向量a与实数相乘有|λa|＝________. 当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反. |λ||a| 2.单位向量 长度为1的向量称为单位向量.对于每个非零向量a，可得到与它 方向相同的唯一单位向量_______，其中|e|＝_____. 1 3.共线向量 对于空间任意两个向量a，b(a≠0)，若_______，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作________. 零向量的方向可以任取，又0=0a，则0是任意向量a的0倍，因此零向量与任意向量共线. 4.空间向量与实数的乘法运算律 (1)λ(a＋b)＝_________.(对向量加法的分配律) (2)(λ1＋λ2)a＝__________.(对实数加法的分配律) b＝λa b∥a λa＋λb λ1a＋λ2a 空间向量数乘运算的注意点 (1)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a无意义. (2)任何实数与向量的积仍是一个向量.空间向量的数乘运算可以把向量的模扩大(当|λ|＞1时)，也可以缩小(当|λ|＜1时)；可以不改变向量的方向(当λ＞0时)，也可以改变向量的方向(当λ＜0时). (3)注意实数与向量的乘积的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当λ≠0时，若a＝0，则λa＝0. 1.已知空间向量a，b，c，化简(a－2b－3c)＋(－a＋3b＋3c)的结果为(　 ) A.0 B.b C.－b D.－a 答案：B 解析：(a－2b－3c)＋(－a＋3b＋3c)＝(1－1)a＋(－2＋3)b＋(－3＋3)c＝b. 答案：B　 [题点一] 空间向量的概念 A.2 B.3 C.4 D.5 [答案]　A 方法技巧 空间向量与平面向量的一致性 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是两个向量的模相等，方向相反.　　 对点训练 A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B　 [题点二] 空间向量的线性运算 [解]　(1)因为P是C1D1的中点， (2)因为N是BC的中点， (3)因为M是AA1的中点， 拓展 因为四边形AA1D1D是平行四边形， 方法技巧 进行线性运算时应注意的4个法则 (1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”； (2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”； (3)平行四边形法则：“起点重合”； (4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”.　　 对点训练 2.已知四边形ABCD为正方形，P是正方形ABCD所在平面外的一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值. [题点三] 求证：四边形EFGH是梯形. 向量共线问题 [证明]　∵E，H分别是AB，AD的中点， 又F不在直线EH上， ∴四边形EFGH是梯形. 方法技巧 判断向量a，b共线的两种方法 (1)定义法，即证明a，b所在直线平行或重合. (2)向量共线的充要条件：利用“a＝λb(b≠0)⇒a∥b”判断. [提醒]　如果a，b是由空间图形中的有向线段表示的，可利用空间向量的运算性质，结合具体图形，化简得出a＝λb，从而得出a∥b，即a与b共线.　　 对点训练 求证：E，F，B三点共线. 发展理性思维 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件