1.2.3 简单复合函数的求导（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1.2.3　简单复合函数的求导 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.掌握复合函数的求导法则. 2.能求简单的复合函数(限于形如 f(ax＋b))的导数.   重点 难点 重点：利用复合函数的求导公式求导数. 难点：对复合函数求导公式的理解. 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容 3.4 浸润学科素养和核心价值 2 复合函数及其导数 复合函数的定义 一般地，设y＝f(u)是关于_____的函数，u＝g(x)是关于___的函数，则y＝________是关于x的函数，称为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数 求导法则 F(x)＝f(g(x))的导数为F′(x)＝____________，其中u＝g(x).也可记作y′x＝___________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的________ u x f(g(x)) f′(u)·g′(x) y′u·u′x 乘积 使用复合函数求导法则的注意事项 (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，选择适当的中间变量. (2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，如(sin 2x)′＝2cos 2x，不能得出(sin 2x)′＝cos 2x. 1.函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　 ) A.y＝un，u＝x2－1 B.y＝(u－1)n，u＝x2 C.y＝tn，t＝(x2－1)n D.y＝(t－1)n，t＝x2－1 答案：A　 解析：由复合函数求导法则知A正确. 2.设函数f(x)＝(1－2x)10，则f′(1)＝(　 ) A.0 B.－1 C.－20 D.20 答案：D　 解析：因为f′(x)＝10(1－2x)9×(－2)＝－20(1－2x)9，所以f′(1)＝20. [题点一] 复合函数的导数 [典例1]　求下列函数的导数： (2)令u＝x2，则y＝cos u， 所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2xsin x2. 方法技巧 求复合函数导数的步骤 对点训练 1.求下列函数的导数. (1)y＝(x2－4)2；(2)y＝log2(2x2＋3x＋1)；(3)y＝esin(ax＋b). 解：(1)y′＝2(x2－4)(x2－4)′＝2(x2－4)·2x＝4x3－16x. (3)y′＝[esin(ax＋b)]′＝esin(ax＋b)[sin(ax＋b)]′＝esin(ax＋b)·cos(ax＋b)·(ax＋b)′＝acos(ax＋b)·esin(ax＋b). [题点二] 复合函数与导数的运算法则的综合应用 方法技巧 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的. (2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，开始由外及内逐层求导.　　 对点训练 (2)y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′ ＝3sin2x cos x＋3x2cos x3. [题点三] [解]　由f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x， 得f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x， 复合函数求导的综合应用 又b＝a3，∴b＝1，∴点P的坐标为(1,1). 由y＝x3，得y′＝3x2. 当P点为切点时，切线的斜率k＝3×12＝3， ∴曲线y＝x3上以点P为切点的切线方程 为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. 即3x－4y＋1＝0. 综上，满足题意的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0. 方法技巧 求复合函数的导数的注意点 (1)分解的函数通常为基本初等函数； (2)求导时分清是对哪个变量求导； (3)计算结果尽量简单.　　 对点训练 答案：D　 4.若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线， 也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________. 解析：设f(x)＝ln x＋2， g(x)＝ln(x＋1)， 设曲线f(x)＝ln x＋2上的切点为(x1，y1)， 曲线g(x)＝ln(x＋1)上的切点为(x2，y2)， 又y1＝ln x1＋2，y2＝ln(x2＋1)＝ln x1， 故b＝y1－kx1＝2－ln 2－1＝1－ln 2. 答案：1－ln 2 发展理性思维 答案：0　－1 答案：C　 强化拓广探索 4.定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0为函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝x2＋1，h(x)＝ln(x＋2)，φ(x)＝cos x(x∈(0，π))的“新驻点”分