1.2.1 几个基本函数的导数（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1.2.1　几个基本函数的导数 明学习目标 知结构体系 课标 要求 　　　 重点 难点 重点：基本初等函数的导数公式及其运用. 难点：基本初等函数的导数公式的推导. 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容 3.4 浸润学科素养和核心价值 2 1.常见幂函数的导数 0 1 2x 2.一些基本初等函数的导数 函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α≠0) f′(x)＝______ f(x)＝ex f′(x)＝_____ f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝________ (a>0，且a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝____ αxα－1 ex axln a cos x －sin x 续表 关于几个基本初等函数导数公式的特点 (1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”. (2)指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数. (3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数. 答案：D　 答案： D　 3.已知函数f(x)＝x3，f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x0)＝12，则x0＝(　 ) 答案：C　 [题点一] 用导数公式求函数的导数 ∴y′＝cos x. 方法技巧 求简单函数导函数的两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂. (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 　　 对点训练 解：(1)y′＝(6x)′＝6xln 6. ∴y′＝(cos x)′＝－sin x. [题点二] [典例2]　过原点作曲线y＝ex的切线，求切点的 坐标及切线的斜率. [解]　因为(ex)′＝ex，设切点坐标为(x0, ex0)， 则过该切点的直线的斜率为ex0， 所以切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0). 因为切线过原点，所以－ex0＝－x0·ex0，x0＝1. 所以切点为(1, e)，切线斜率为e. 利用导数公式研究切线问题 拓展 1.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________. 解析：∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2. 当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1. 2.已知点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离. 解：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图.则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′＝1. y′＝(ex)′＝ex，ex0＝1，得x0＝0， 代入y＝ex，y0＝1，即P(0,1). 方法技巧 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.　　 对点训练 2.(2022·新课标Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________. 3.已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程. 解：因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)， 则y′＝2x0. 即4x－4y－1＝0. [题点三] [答案]　C 利用导数的几何意义求参数 方法技巧 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围.　 对点训练 答案：D　 5.已知直线(8ln 2)x－y－8ln 2＋4＝0是指数函数y＝ax(a>0且a≠1)图象的一条切线，求底数a的值. 解：设切点坐标为(x0，ax0)，因为y′＝axln a，所以切线斜率k＝ax0ln a， 切线方程为y－ax0＝(ax0ln a)(x－x0)， 即(ax0ln a)x－y－x0ax0ln a＋ax0＝0， 因为已知切线的方程为(8ln 2)x－y－8ln 2＋4＝0， 所以ax0ln a＝8ln 2，x0ax0ln a＝8ln 2，ax0＝4， 解得a＝4，x0＝1.综上，a＝4. 发展理性思维 1.设f1(x)＝sin x，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 022(x)＝(　 ) A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x