1.1.3 导数的几何意义（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1.1.3　导数的几何意义 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 2.会求直线的斜率及切线方程. 重点 难点 重点：导数的几何意义及应用. 难点：极限思想及导数几何意义的理解. 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容 3.4 浸润学科素养和核心价值 2 1.切线的斜率 在图中，让点Q1沿曲线趋于点P，可以发现，割线PQ2比PQ1更逼近曲线y＝f(x)，PQ3比PQ2更逼近曲线，…，当点Qn沿曲线逼近于点P时，直线PQn最终成为在点P处最逼近曲线的切线PT. 当点Qn逼近点P时，kn趋近于切线PT的斜率.因此，函数f(x)在___________处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝__________. x＝x0 f′(x0) 2.导数的几何意义 导数f′(x)的几何意义就是该曲线在点_________处的切线的斜率. (x，f(x)) 1.如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)＝(　 ) 答案：A　 答案：－1 [题点一] 对导数几何意义的理解 [典例1]　(1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　 ) A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB) C.f′(xA)＝f′(xB) D.不能确定 (2)函数f(x)在x＝4处的切线方程为y＝3x＋5，则f(4)＋f′(4)＝(　 ) A.10 B.20 C.30 D.40 [答案]　(1)B　(2)B [解析]　(1)由导数的几何意义知，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由题图可知f′(xA)<f′(xB). (2)因为f(4)＝3×4＋5＝17，又在x＝4处的导数为f′(4)＝3，所以f(4)＋f′(4)＝20. 方法技巧 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的大小.　　 对点训练 1.函数f(x)的图象如图所示，则(　 ) A.f′(1)>f′(2)>f′(3) B.f′(2)>f′(1)>f′(3) C.f′(3)>f′(2)>f′(1) D.f′(3)>f′(1)>f′(2) 答案：C　 解析：由函数的图象可知，曲线在点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))处切线的斜率大小关系为kC>kB>kA，故f′(3)>f′(2)>f′(1). 2.如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)＝(　 ) A.－3 B.－2 C.2 D.1 答案：D　 解析：由题可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,4)，则切线l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，f(2)＋f′(2)＝1. [题点二] ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. 利用导数的几何意义求切线方程 拓展 本例曲线方程不变，求曲线过点P(2,4)的切线方程. ∵点P(2,4)在切线上， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2. 故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. 方法技巧 求曲线在某点处的切线方程的步骤 对点训练 A.30° B.45° C.135° D.165° 答案：B　 4.曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程是(　 ) 答案：C　 [题点三] 切线方程的应用 所以直线l的方程为4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0. 方法技巧 求解与导数的几何意义有关问题的注意点 (1)注意曲线横坐标的取值范围. (2)谨记切点既在切线上又在曲线上.　　 对点训练 5.已知曲线f(x)＝x3＋2x＋1在点M处的切线斜率为2，求点M的坐标. 解：∵f(x)＝x3＋2x＋1， 设M(x0，y0)，∵曲线f(x)＝x3＋2x＋1在点M处的切线斜率为2. ∴点M的坐标为(0,1). 发展理性思维 1.若曲线f(x)＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是(　 ) A.(0,0) B.(0,1) C.(2,2) D.(－2,0) 答案：A 2.已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公切线，则a＝________，b＝________. 所以f′(1)＝2a，即切线的斜率k1＝2a. 所以g′(1)＝3＋b，即切线的斜率k2＝3＋b. 因为在交点(1，c)处有公切线，所以2a＝3＋b.(*) 又因为