1.1.2 瞬时变化率与导数（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1.1.2　瞬时变化率与导数 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程. 2.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达. 重点难点 重点：瞬时变化率(导数)的概念. 难点：导数与导函数的区别，及利用定义求导数及导函数. 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容 3.4 浸润学科素养和核心价值 2 (一)瞬时速度 若物体的运动方程为s＝f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是平均速度v(t，d)＝_______________在____________时的极限.这个极限记为_______________. d趋近于0 A.从时间t到t＋d时物体的平均速度 B.在t 时刻物体的瞬时速度 C.当时间为t＋d时物体的速度 D.在时间t＋d时物体的瞬时速度 答案：B 2.一物体做直线运动，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是f(t)＝5t－t2，则该物体在t＝3 s时的瞬时速度是(　 ) A.－1 m/s B.1 m/s C.2 m/s D.6 m/s 答案：A　 (二)函数的瞬时变化率——导数 1.函数的瞬时变化率 x＝u 一般地，若函数y＝f(x)的平均变化率_________________在d趋近于0时，有确定的极限值，则称这个值为该函数在________处的瞬时变化率. 函数的瞬时变化率，数学上叫作函数的导数或微商. 2.导数(微商)的定义 设函数y＝f(x)在包含x0的某个区间上有定义，在d趋近于0时，如 果比值______________趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为函数y＝f(x)在__________处的导数或微商，记作f′(x0). 这时我们就说f(x)在点x0处的导数存在，或者说f(x)在点x0处可导或可微. x＝x0 3.导函数(一阶导数) (1)若y＝f(x)在定义区间中_______的导数都存在，则f′(x)(或y′)也是x的函数，我们把f′(x)(或y′)叫作y＝f(x)的导函数或一阶导数. (2)若f′(x)在定义区间中任一点处都可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f″(x). 任一点 1.函数y＝x2在x＝1处的导数为(　 ) A.2x B.2＋d C.2 D.1 答案：C 答案：－1 [题点一] 求运动物体的瞬时变化率 [典例1]　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度. 当d→0时，3＋d→3， ∴物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 拓展 1.在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度. 解：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度. 2. 在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. ∴当d→0时，2t0＋1＋d→2t0＋1，则2t0＋1＝9， ∴t0＝4，则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 方法技巧 求运动物体的瞬时速度的步骤 (1)求时间改变量d和位移改变量s(t0＋d)－s(t0)； 对点训练 1.一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m；时间单位：s).若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a. [题点二] [典例2]　求球的体积在半径为3时的瞬时变化率，并指出这一瞬时变化率的实际意义. 瞬时变化率的实际意义 故球在r＝3时的瞬时变化率为36π. 这一瞬时变化率的实际意义为球的表面积. 方法技巧 认识瞬时变化率的关键点 (1)极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限. (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导函数f′(x0)反映了函数在x＝x0处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况.　　 对点训练 2.某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单位：元)与产量x(单位：台)之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600. (1)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均变化率； (2)求c′(1 000)与c′(1 500)，并说明它们的实际意义. 解：(1)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均变化率为 (2)设x＝1 000时产量的改变量为d1， 令d1→0，可得c′(1 000)＝3 000. 设x＝1 500时产量的改变量为d2， 令d2→0，可得c′(1 500)＝1 000.c′(1 000)的实际意义：当产量为1 000台时，多生产1台旋切机可多获得3 000元；c′(1 500)的实际意义：当产