1.1.1 函数的平均变化率（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

BUSINESS POWERPOINT 第1章 导数及其应用 1.1.1　函数的平均变化率 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过具体实例了解函数的平均变化率. 2.了解“以直代曲”的含义. 3.会求运动物体的平均速度. 重点 难点 重点：求函数的平均变化率. 难点：平均变化率在实际问题中的应用. 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容 3.4 浸润学科素养和核心价值 3 1.运动物体的平均速度 若在直线上运动的点P在任何时刻t的位置均可用f(t)表示，则从时刻a到时刻b的位移为__________.因为所花时间为________，所以在时 间段[a，b]内动点P的平均速度为v[a，b]＝___________. f(b)－f(a) b－a 2.函数的平均变化率 快慢 方向(增减) (1)求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题： ①平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差. ②平均变化率的公式中，分子、分母中被减数同为右端点，减数同为左端点. (2)一次函数的平均变化率： 2.一物体的运动位移s＝3＋t2，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度为(　 ) A.0.41 B.3 C.4 D.4.1 答案：D [题点一] 求运动物体的平均速度 [典例1]　小球在光滑斜面上向下滚动，从开始滚动算起时间t内所经过的距离为s(t)＝at2，求小球在时间段[2,2＋h]内的平均速度. [解]　因为小球在t内所经过的距离为s(t)＝at2， 方法技巧 求运动物体的平均速度的步骤 第一步，求时间的改变量x2－x1； 第二步，求位移的变化量f(x2)－f(x1)； 对点训练 1.(多选)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h(t)＝2t2＋2t，则下列说法正确的是(　 ) A.前3 s内球滚下的垂直距离的增量为20 m B.在时间[2,3]内球滚下的垂直距离的增量为12 m C.前3 s内球在垂直方向上的平均速度为8 m/s D.在时间[2,3]内球在垂直方向上的平均速度为12 m/s 答案：BCD　 解析：前3 s内球滚下的垂直距离的增量为h(3)－h(0)＝24 m， [题点二] 求函数的平均变化率 方法技巧 求函数平均变化率的步骤 第一步，求自变量的改变量x2－x1； 第二步，求函数值的改变量f(x2)－f(x1)； 对点训练 2.已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率. [题点三] [典例3]　巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有用“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，如图是一段登山路线图.同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释. 平均变化率的应用 方法技巧 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢.　　 对点训练 3.如图所示，向一个圆台形的容器倒水，任意相等时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度h随时间t变化的函数为h＝f(t)，定义域为D，设t0∈D，k1，k2分别表示f(t)在区间[t0－d，t0]，[t0，t0＋d](d＞0)上的平均变化率，则(　 ) A.k1＞k2　　　　 B.k1＜k2 C.k1＝k2 D.无法确定 答案：A　 解析：由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，所以f(t)在区间[t0－d，t0]，[t0，t0＋d](d＞0)上的平均变化率越来越小，即k1＞k2. 发展理性思维 2.已知二次函数f(x)＝x2和指数函数g(x)＝ax(a＞0，a≠1)在区间[2,4]上的平均变化率相同，则a＝(　 ) 答案：B　 注重实践应用 3.下图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是(　 ) A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 答案：BC　 4.某水库储水量与水深的关系如下表所示： 水深/m 0 5 10 15 20 25 30 35 储水量/104m3 0 10 30 90 160 275 435 650 在35 m范围内，当水深每增加5 m时，水库储水量的平均变