4.2 一元线性回归模型（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

4.2　一元线性回归模型 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.结合具体实例，了解线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握线性回归模型参数的最小二乘法. 2.针对实际问题，会用线性回归模型进行预测. 重点 难点 重点：求线性回归方程并用线性回归方程进行预测. 难点：用最小二乘法求线性回归方程. 一回归分析 1.回归直线方程 在散点图中与各点散布趋势相似的直线叫作回归直线，这条直线的方程叫作回归直线方程. 2.回归分析 由散点图求出回归直线并进行统计推断的过程叫作回归分析. 在回归分析中，被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示.用来预测或解释因变量的变量称为自变量，用x表示. 3.一元线性回归方程 如果具有相关关系的两个变量x，y可用方程y＝a＋bx (1)来近似刻画，则称(1)式为y关于x的一元线性回归方程，其中a，b称为回归系数. 由于我们是利用样本数据(一组观测值)去估计总体的回归直线方程，所以估计的回归直线方程形式为＝＋x. 4.随机误差 当自变量x取值xi(i＝1,2，…，n)时，我们将根据回归直线方程估计出的i与实际观测值yi的误差，即yi－i＝yi－(＋xi)(i＝1,2，…，n)，称为随机误差，记作ei. 5.一元线性回归模型 我们把yi＝＋xi＋ei(i＝1,2，…，n)这一描述因变量y如何依赖于自变量x和随机误差ei的方程称为一元线性回归模型. 1.判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)在线性回归模型中，ε是bx＋a预报真实值y的随机误差，它是一个可观测的量.(　 ) (2)回归直线方程中，由x的值得出的y值是准确值.(　 ) (3)回归直线一定过样本点的中心.(　 ) (4)回归直线一定过样本中的某一个点.(　 ) (5)选取一组数据中的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程是同一个方程.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2.(多选)以下四个散点图中，两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是(　 ) 答案：AC　 3.已知工厂加工零件的个数x与花费时间y(h)之间的回归直线方程为＝0.01x＋0.5，则加工200个零件大约需要________小时. 解析：将x＝200代入回归直线方程＝0.01x＋0.5，得＝2.5. 答案：2.5 二非线性回归分析 在实际问题中，如果从数据的散点图可以看出两个变量之间有明显的非线性关系，就需要选择一个合适的曲线方程，按照这个曲线方程对原始数据进行代换.目的是把变量间的非线性关系转化为近似的线性关系，然后用建立线性回归方程的方法确定未知参数. 1.以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到线性回归方程z＝0.3x＋4，则c＝________. 解析：由题意，得ln(cekx)＝0.3x＋4，∴ln c＋kx＝0.3x＋4，∴ln c＝4，∴c＝e4. 答案：e4 2.已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y＝3e2x＋1的图象附近，则可通过转换得到的回归直线方程为__________. 答案：z＝1＋ln 3＋2x ————————————————————————————————— 回归参数的意义 —————————————————————————————————————— [典例1]　(多选)根据某班学生的物理成绩(y)，数学成绩(x)，得到y与x具备线性关系，并求得其线性回归方程为＝22.05＋0.625x，则下列说法正确的是(　 ) A.x与y正相关，说明数学成绩优秀对物理的学习有一定的促进作用 B.某同学数学考了96分，可以预测他的物理成绩约为82分 C.某同学数学因为其他原因没考，则他物理能考22.05分 D.数学每提高1分，物理大约会提高0.625分 [解析]　因为＝22.05＋0.625x,0.625＞0，所以x与y正相关，A正确；将x＝96代入方程，得约为82，B正确；用数学成绩预测物理成绩时，应用正常情况下的数学成绩，故C错误；由的意义易知D正确. [答案]　ABD [方法技巧] 已知线性回归方程＝x＋，有以下结论： (1)表示x每增加1个单位，y的平均变化量，＞0为正相关，＜0为负相关. (2)回归直线过样本中心点(，)，其他测量值不一定满足方程. (3)由方程得到的值为预测值，有一定的偏差，但有一定的指导作用.　　 [对点训练] 1.某地区调查了2～9岁的儿童的身高，由此建立的身高y(cm)与年龄x(岁)的线性回归方程为＝8.25x＋60.13，下列叙述正确的是(　 ) A.该地区一个10岁儿童的身高为142.63 cm B.该地区2～9岁的儿童每年身高约增加8.25 cm C.该地区9