3.1.3～3.1.4～3.1.5 乘法公式～全概率公式～贝叶斯公式（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

3.1.3&3.1.4&3.1.5　乘法公式　全概率公式　贝叶斯公式* 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能从条件概率的定义推导乘法公式，会应用乘法公式计算概率. 2.理解全概率公式，学会利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率. 重点 难点 重点：乘法公式及全概率公式的应用. 难点：乘法公式及全概率公式在实际问题中的应用. 一乘法公式 由条件概率的计算公式可知，对于两个事件A，B，由P(B|A)＝可得P(AB)＝P(A)P(B|A)，P(A)＞0.　① 如果三个事件A，B，C不相互独立，若P(AB)＞0，则P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).　② 将①②式推广到n个事件，则有： 若Ai(i＝1,2，…，n)为随机事件，且P(A1A2…An－1)＞0，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An－1).　③ ③式常称为概率的乘法公式. 1.设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　∵P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝，由P(A|B)＝，得P(B)＝＝×2＝. 2.已知P(B)＝，P(A|B)＝，则P(AB)＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　由乘法公式得，P(AB)＝P(B)P(A|B) ＝×＝. 二全概率公式 若将样本空间Ω分为A，两部分，则事件B的概率P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|). 若将样本空间Ω分为n部分，则可以推广得到以下结论： 设Ai(i＝1,2，…，n)为n个事件，若满足 (1)AiAj＝∅(i≠j)； (2)A1∪A2∪A3∪…∪An＝Ω； (3)P(Ai)＞0，i＝1，…，n， 则对任一事件B，有 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An)＝P(Ai)P(B|Ai).此公式称为全概率公式. 1.甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为(　 ) A.0.012 3 B.0.023 4 C.0.034 5 D.0.045 6 解析：选C　本题为简单的全概率公式的应用，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5. 2.已知某品牌只卖A，B两种型号的产品，两种产品的比例为8∶2，其中A型号产品优秀率为75%，B型号产品优秀率为90%，则购买一件该品牌产品为优秀品的概率为________. 解析：根据题意，购买一件该品牌产品为优秀品的概率为×75%＋×90%＝78%. 答案：78% 三贝叶斯公式* 设A1，A2，…，An满足AiAj＝∅(i≠j)，且A1∪A2∪A3∪…∪An＝Ω.若P(Ai)＞0(i＝1,2，…，n)，则对任一事件B(其中P(B)＞0)，由条件概率及全概率公式，有P(Ai|B)＝＝(i＝1,2，…，n). ————————————————————————————————— 乘法公式 —————————————————————————————————————— 角度(一)　乘法公式的理解 [典例1]　设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于(　 ) A. B. C. D. [解析]　∵P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝，∴由P(A|B)＝，得P(B)＝＝×2＝. [答案]　B 角度(二)　乘法公式的应用 [典例2]　一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，先后两次从中随意各取一球(不放回)，求两次取到的均为黑球的概率. [解]　设Ai表示事件“第i次取到的是黑球(i＝1,2)”，则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”.由题设知P(A1)＝，P(A2|A1)＝.根据乘法公式，有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝. [拓展] 1.在本例条件不变的情况下，求第一次取得黑球，第二次取得白球的概率. 解：用A表示“第一次取得黑球”，则P(A)＝，用B表示“第二次取得白球”，则P(B|A)＝.故P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝. 2.在本例条件不变的情况下，求两次均取得白球的概率. 解：用Bi表示“第i次取得白球(i＝1,2)”，则B1B2表示“两次取到的均是白球”. 由题意得P(B1)＝，P(B2|B1)＝.故P(B1B2)＝P(B1)P(B2|B1)＝×＝. [方法技巧] 1.应用乘法公式的关注点 (1)来源：乘法公式是条件概率公式的变形式. (2)用途：已知事件A发生的概率和事件A发生的条件下事件B发生的概率，求事件