2.4.4 向量与距离（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2.4.4　向量与距离 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题. 2.体会向量方法在解决几何问题中的作用. 重点难点 重点：会用空间向量方法求立体几何中的距离问题. 难点：理解距离的向量表示及求解方法. 1.点到直线的距离 (1)定义 如图，直线l的方向向量为v，点P为直线l外一点，过点P作直线l的垂线交l于点D，则||即为点P到直线l的距离. (2)公式 d＝||＝ ＝. 2.点到平面的距离 (1)定义 平面外一点P到平面α的距离d等于点P到平面α的垂线段PB的长度. (2)公式 如图，在平面α内任取一点A，作向量，设n是平面α的法向量，则在法向量n上的投影长||＝即为点P到平面α的距离d. 3.两平行平面间的距离 (1)定义 两平行平面α，β之间的距离等于平面α上任一点A到平面β的距离，也等于两平面之间任一条线段AB在平面α的法向量n上的投影长. (2)公式 如图，A，B分别是平行平面α，β上的任意一点，设n是平面α，β的一个法向量，则平面α，β之间的距离d＝. 1.判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)用向量法求点线距，是将点线距转化为已知点与直线上一点构成的向量在与直线垂直的向量方向上的投影向量的模.(　 ) (2)用向量法求点面距，是将点面距转化为已知点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的模.(　 ) (3)两异面直线间的距离可以转化成线面距，进而可转化成点面距.(　 ) (4)两平行直线间的距离可以转化成点线距.(　 ) (5)线面距、面面距可以转化成点面距.(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√ 2.已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1，3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为(　 ) A.10 B.3 C. D. 解析：选D　点P到平面α的距离d＝＝＝. ————————————————————————————————— 向量法求点到直线的距离 —————————————————————————————————————— [典例1]　如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD­A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，则点B到直线A′C的距离为__________. [解析]　因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)，所以直线A′C的方向向量＝(1,2，－3).又＝(0,2,0)，所以在上的投影长为＝.所以点B到直线A′C的距离d＝＝＝. [答案]　 [方法技巧]　用向量法求点到直线的距离的一般步骤 [对点训练] 1.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，若点P满足＝＋＋，则点P到直线AB的距离为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　 建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，∴＝(0,1,0)，＝(－1,0,0)，＝(0,0,1)，∴＝(0,1,0)＋(－1,0,0)＋(0,0,1)＝.∴·＝. ∴点P到直线AB的距离为＝＝. —————————————————————————————————— 向量法求点面距 —————————————————————————————————————— [典例2]　如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为AB，BC的中点，求点D1到平面B1EF的距离. [解]　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则E(2，，0)，F(，2，0)，B1(2，2，4)，B(2，2，0)，D1(0,0,4)， 所以E1＝(0，，4)，＝(，0,4)，＝(－2，－2，0).设n＝(x，y，z)是平面B1EF的法向量， 则n⊥，n⊥，所以 所以x＝y＝－2z，所以可取n＝(2，2，－1)， 所以点D1到平面B1EF的距离d＝＝＝. [方法技巧]　用向量法求点面距的步骤 [对点训练] 2.已知A(2,2,0)，B(1,4,2)，C(0,0,1)，则原点O到平面ABC的距离为________. 解析：由题意得＝(－1,2,2)，＝(－2，－2,1)，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝－x＋2y＋2z＝0，n·＝－2x－2y＋z＝0，解得x＝－2y，z＝－2y.令y＝－1，得x＝z＝2. ∴平面ABC的一个法向量为n＝(2，－1,2).又＝(2,2,0)， ∴原点O到平面ABC的距离为d＝＝. 答案： 3.在三棱锥S­ABC中，△ABC