2.4.3 向量与夹角（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2.4.3　向量与夹角 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能用向量方法解决简单夹角问题. 2.通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 重点 难点 重点：利用空间向量求空间角. 难点：利用空间向量求空间角. 1.直线与直线的夹角 设两条异面直线a与b所成的角为θ，它们的方向向量分别是v1，v2，设v1与v2的夹角为φ.有cos θ＝|cos φ|＝|cos〈v1，v2〉|＝. 2.直线与平面所成的角 当直线l与平面α相交且不垂直时，设它们所成的角为θ，v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，v与n的夹角为φ，有sin θ＝|cos φ|＝|cos〈v，n〉|＝. 3.两个平面所成的角 设两个平面α1和α2所成的角为θ，平面α1，α2的法向量分别为n1和n2，记〈n1，n2〉＝φ，有cos θ＝|cos φ|＝|cos〈n1，n2〉|. 1.判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.(　 ) (2)直线l与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角.(　 ) (3)若二面角α­l­β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则θ＝〈n1，n2〉.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为(　 ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案：A 3.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为(　 ) A.45° B.135° C.45°或135° D.90° 答案：C ————————————————————————————————— 向量法求异面直线所成的角 —————————————————————————————————————— [典例1]　如图，在直三棱柱A1B1C1­ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点.求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值. [解]　以A为原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，则A(0，0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1，1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4).因为cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为. [方法技巧] 求异面直线所成角的方法 运用向量法常有两种途径： (1)基向量法：在一些不适合建立坐标系的题型中，经常采用取定基向量的方法，在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别作为a，b的方向向量，则cos θ＝，根据条件可以把与用基表示，再进行计算. (2)坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单.　　 [对点训练] 1.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　 设CB＝1，则A(2,0,0)，B1(0,2,1)，C1(0，2,0)，B(0,0,1)，＝(0,2，－1)，＝(－2，2,1).cos〈，〉＝＝＝. —————————————————————————————————— 向量法求直线与平面所成的角 —————————————————————————————————————— [典例2]　正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的大小. [解]　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0，0，a)，C1，B1(0，a，a).A＝(0，a,0)，＝(0,0，a).设侧面ABB1A1的法向量为n＝(λ，y，z)，则n·A＝0，且n·＝0，∴ay＝0，且az＝0，∴y＝z＝0，故n＝(λ，0,0).又＝，∴cos〈，n〉＝＝＝－.设AC1与侧面ABB1A1所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝，∴θ＝30°，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°. [方法技巧] 求线面角的两种思路 (1)线面角转化为线线角.根据直线与平面所成角的定义，确定出待求角，转化为直线的夹角来求解，此时要注意两直线夹角的取值范围. (2)向量法.方法一：设直线PA的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线PA与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为φ，则sin θ＝|cos φ|＝.方法二：设