6.3.1～6.3.2 直线的方向向量与平面的法～向量空间线面关系的判定（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

6.3.1 & 6.3.2 直线的方向向量与平面的法向量　 　 空间线面关系的判定 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1．理解直线的方向向量和平面的法向量的概念与求法． 2．理解用向量法判定空间直线与平面的位置关系． 重点 难点 重点：空间中直线、平面的平行和垂直． 难点：理解直线、平面的向量表示. (一)直线的方向向量与平面的法向量 1．直线的方向向量 直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量． 2．平面的法向量 (1)如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫作平面α的法向量． (2)与平面垂直的直线叫作平面的法线．因此，平面的法向量就是平面的法线的方向向量． 1．判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)直线l的方向向量是唯一的．(　 ) (2)若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0.(　 ) (3)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的法向量的是(　 ) A．(0，－3,1) B．(2,0,1) C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1) 解析：选D　问题即求与n共线的一个向量．即n＝(2，－3，1)＝－(－2,3，－1)． (二)空间中直线、平面的平行 1．直线与直线平行 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． 2．直线与平面平行 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. 3．平面与平面平行 设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)．则α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． 1．已知a＝，b＝分别是直线l1，l2的一个方向向量．若l1∥l2，则(　 ) A．x＝3，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝3，y＝ 解析：选D　 因为l1∥l2，所以＝＝，所以x＝3，y＝，故选D. 2．若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则(　 ) A．α∥β B．α⊥β C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合 解析：选D　∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合． (三)空间中直线、平面的垂直 1．直线与直线垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 2．直线与平面垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，k∈R. 3．平面与平面垂直 设平面α的法向量为u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. 1．若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n＝，则平面β的法向量可以是(　 ) A. B．(2，－1,0) C．(1,2,0) D. 答案：C 2．已知两平面α，β的一个法向量分别为u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________． 答案：垂直 3．若直线的方向向量为u1＝，平面的法向量为u2＝(3,2，z)，则当直线与平面垂直时，z＝________. 答案： —————————————————————————————————— 求平面的法向量 —————————————————————————————————————— [典例1]　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面BCC1B1的法向量； (2)求平面MCA1的法向量． [解]　(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1＝(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量． (2)因为AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点，所以M，C，A1的坐标分别为(3,2,0)，(0,4,0)，(3,0,2)．因此＝(－3,2,0)，＝(0，－2,2)．设n2＝(x，y，z)是平面MCA1的法向量，则n2⊥，n2⊥.