6.2.2 第2课时 空间向量数量积的坐标表示（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

第2课时　空间向量数量积的坐标表示 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1．掌握空间向量数量积的坐标运算． 2．会根据空间向量数量积的坐标运算解决向量垂直、夹角和距离问题． 重点 难点 重点：空间向量数量积的坐标表示的应用． 难点：空间向量数量积运算中夹角的求解. 1．空间向量数量积运算的坐标表示及应用 设空间两个非零向量为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a·b |a||b|cos〈a，b〉 x1x2＋y1y2＋z1z2 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 模 |a|＝ 夹角 余弦 cos〈a，b〉＝ 2.空间两点间的距离及中点坐标 在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 (1)AB＝||＝. (2)线段AB的中点M的坐标为. 1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是(　 ) A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10 D．|a|＝6 答案：D 2．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上的两个点A，B的坐标分别为(1,2,2)，(2，－2,1)，则||等于(　 ) A．18 B．12 C．2 D．3 解析：选D　||＝＝3.故选D. 3．已知a＝(2,1,3)，b＝(－4,5，x)，若a⊥b，则x＝______. 答案：1 4．已知A点的坐标是(－1，－2,6)，B点的坐标是(1,2，－6)，O为坐标原点，则向量与的夹角是________． 答案：π —————————————————————————————————— 坐标法求空间向量的数量积 —————————————————————————————————————— [典例1]　 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积： (1)·； (2)·. [解]　以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则B(2，0,0)，C(2,4,0)，E(1,0,1)，D1(0,4,2)，F(0,2,2)，A(0,0,0)，B1(2,0,2)，∴＝(0,4,0)，＝(－1，4,1)，＝(－2,2,2)，＝(2,0,2)， (1)·＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16； (2)·＝－2×2＋2×0＋2×2＝0. [方法技巧]　求空间向量数量积的两种方法 基向 量法 首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算．注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量 坐标法 对于建系比较方便的题目，采用此法较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可. [对点训练] 1．已知a＝(－2,0，－5)，b＝(3,2，－1)，求下列各式的值：(1)a·a；(2)|b|；(3)(3a＋2b)·(a－b)． 解：(1)a·a＝a2＝(－2)2＋02＋(－5)2＝29. (2)|b|＝＝＝. (3)法一：因为3a＋2b＝3(－2,0，－5)＋2(3,2，－1)＝(0,4，－17)，a－b＝(－2,0，－5)－(3,2，－1)＝(－5，－2，－4)， 所以(3a＋2b)·(a－b)＝(0,4，－17)·(－5，－2，－4)＝0×(－5)＋4×(－2)＋(－17)×(－4)＝60. 法二：因为a·b＝(－2,0，－5)·(3,2，－1)＝(－2)×3＋0×2＋(－5)×(－1)＝－1， 所以(3a＋2b)·(a－b)＝3a2－a·b－2b2＝3×29－(－1)－2×14＝60. —————————————————————————————————— 空间向量数量积的坐标运算解决垂直问题 —————————————————————————————————————— [典例2]　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点． 求证：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH； (2)A1G⊥平面EFD. [证明]　如图，以A为坐标原点，分别以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为 1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)．由中点坐标公式，得E，F，G，H. (1)＝(1,0,1)，＝，＝.因为＝2，·＝1×＋0＋1×＝0，所以∥，⊥，所以AB1∥GE(A∉GE)，AB1⊥EH. (2)＝，＝，＝.因为·＝－－0＝0，·