6.2.2 第1课时 空间向量的坐标表示及线性运算（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

6.2.2　空间向量的坐标表示 第1课时　空间向量的坐标表示及线性运算 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1．在平面直角坐标系的基础上了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用直角坐标系刻画点的位置． 2．能借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)得到顶点的坐标． 3．掌握空间向量线性运算的坐标表示． 重点 难点 重点：空间向量的坐标运算． 难点：空间向量平行的坐标表示. (一)空间向量的坐标表示 1．空间直角坐标系 如图，在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系O­xyz，点O叫作坐标原点，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面． 2．空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系O­xyz中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，有序实数组(a1，a2，a3)叫作向量a在空间直角坐标系O­xyz中的坐标，记作a＝(a1，a2，a3)． 1．判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．(　 ) (2)空间直角坐标系中，在zOx平面内的点的坐标一定是(a,0，c)的形式．(　 ) (3)空间直角坐标系中，点(1，，2)关于yOz平面的对称点为(－1，，2)．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．设{e1，e2，e3}是空间的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________________． 答案：a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7) (二)空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标运算 (1)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 ①a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)； ②a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)； ③λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)． (2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标． 2．空间向量平行的坐标表示 已知空间向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，且a≠0，则a∥b⇔b＝λa⇔x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1(λ∈R)． 1．与向量m＝(0,1，－2)共线的向量是(　 ) A．(2,0，－4) B．(3,6，－12) C．(1,1，－2) D. 答案：D 2．设M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O为坐标原点，若＝，则点B的坐标为(　 ) A．(－1,3，－3) B．(9,1,1) C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1) 解析：选B　因为＝(5，－1,2)，＝(4,2，－1)，又＝＝－，所以＝＋＝(9,1,1)，所以点B的坐标为(9,1,1)． —————————————————————————————————— 空间向量的坐标表示 —————————————————————————————————————— [典例1]　如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1.求向量的坐标． [解]　∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD， ∴，，是两两垂直的单位向量． 设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系A­xyz. 法一：∵＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－＋＋(＋) ＝－＋＋(＋＋) ＝＋＝e2＋e3， ∴＝. 法二：如图所示，连接AC交BD于点O.连接OM，ON. 则O为AC，BD的中点． ∴＝＝， ＝， ∴＝＋＝＋＝e2＋e3， ∴＝. [方法技巧] (1)若坐标系已给出，不用再建系，若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； ②充分利用几何图形的对称性． (2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)进而确定第三个坐标． [对点训练] 1.如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，＝，则等于(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　因为B(1,1,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)．所以E1，所以＝.故选C. 2．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，已知△ABC的边长为