6.2.1 空间向量基本定理（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

6.2.1　空间向量基本定理 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1．了解空间向量基本定理及其意义． 2．掌握空间向量的正交分解． 重点 难点 重点：空间向量基本定理． 难点：选择恰当的基底表示向量. 1．空间向量基本定理 空间向量 基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3 基底和基 向量 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量 2.正交基底和单位正交基底 正交 基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底 单位 正交 基底 当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示 3.推论 设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋y＋z. 1．判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一个基底．(　 ) (2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则{－a，b,2c}也可构成空间的一个基底．(　 ) (3)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．(　 ) (4)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一个基底的是(　 ) A.，， B.，， C.，， D.，， 解析：选C　由题意知，，，不共面，可以作为空间向量的一个基底． 3．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是(　 ) A．a B．b C．c D．无法确定 解析：选C　∵a＝p＋q，∴a与p，q共面，∵b＝p－q，∴b与p，q共面，∵不存在λ，μ，使c＝λp＋μq，∴c与p，q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，故选C. —————————————————————————————————— 对基底的理解 —————————————————————————————————————— [典例1]　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． [解]　假设，，共面，则存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3.∵e1，e2，e3不共面，∴此方程组无解，∴，，不共面，∴{，，}可以作为空间的一个基底． [方法技巧] 基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．　　 [对点训练] 1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的一个基底的向量组有(　 ) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 解析：选B　①中，a，b，x＝a＋b共面，不可作为空间的一个基底；②中，z＝c＋a与向量b，c不共面，可作为空间的一个基底；③中，x，y与a＋b＋c不共面，故②③正确．故选B. —————————————————————————————————— 用基底表示向量 —————————————————————————————————————— [典例2]　如图，在四面体OABC中，M是OA的中点，G是△ABC的重心，试用基向量，，表示向量和. [解]　如图所示，连接AG并延长交BC于点D，则D为BC的中点，且＝(＋)．∵G是△ABC的重心，∴＝＝(＋)．又∵＝－，＝－，∴＝(＋)＝(－2＋＋)．∴＝＋＝＋(－2＋＋)＝＋＋.又∵M是OA的中点，∴＝.∴＝－＝＋＋－＝－＋＋. [方法技巧]　用基底表示向量的步骤 定基底 根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底 找目标 用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果