6.1.3 共面向量定理（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

6.1.3　共面向量定理 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1．了解共面向量的概念． 2．理解空间向量共面的充要条件，会证明空间四点共面． 重点 难点 重点：共面向量定理的应用． 难点：共面向量定理的理解. 1．共面向量 一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量． 2．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb.即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示． 3．空间四点共面的条件 已知，，不共面，若＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，则P，A，B，C四点共面． (1)共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量． (2)空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了． 1．判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)空间的任意三个向量都不共面．(　 ) (2)空间的任意两个向量都共面．(　 ) (3)三个向量共面，即它们所在的直线共面．(　 ) (4)若三个向量两两共面，则这三个向量一定也共面．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(多选)下列条件中，使M，A，B，C四点一定共面的是(　 ) A.＝3－－ B.＝＋＋ C.＋＋＝0 D.＋＋＋＝0 解析：选AC　A选项中，3－1－1＝1，四点共面；B选项中，＋＋≠1，∴M，A，B，C四点不共面；C选项中，＝－－，∴点M，A，B，C共面；D选项中，＝－(＋＋)，而－1－1－1≠1，∴M，A，B，C四点不共面．故选A、C. —————————————————————————————————— 对共面向量概念的理解 —————————————————————————————————————— [典例1]　下列命题正确的是(　 ) A．用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面 B．已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB，BC，CD，DA分别确定的四个向量之和为零向量 C．若存在有序实数组(x，y)使得＝x＋y，则O，P，A，B四点共面 D．若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面 [解析]　A错误，空间中任意两个向量都是共面的； B错误，因为四条线段确定的向量没有强调方向； C正确，因为，，共面，所以O，P，A，B四点共面； D错误，没有强调零向量． [答案]　C [方法技巧] (1)任意两个空间向量都是共面向量； (2)若a，b不共线且同在平面α内，则p与a，b共面的意义是p在α内或p∥α.　　 [对点训练] 1．下列命题是真命题的为(　 ) A．若向量p＝xa＋yb，则p与a，b共面 B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb C．空间的任意三个向量都不共面 D．若P，M，A，B四点共面，则＝x＋y 解析：选A　对于选项A，由共面向量定理得p与a，b共面，A是真命题； 对于选项B，若a，b共线，则p不一定能用a，b表示出来，B是假命题； 对于选项C，空间的任意三个向量都不共面，显然不正确，例如：一个零向量、两个非零向量，即为共面向量，C是假命题； 对于选项D，若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不成立，D是假命题． —————————————————————————————————— 向量共面的判定与证明 —————————————————————————————————————— [典例2]　如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使＝＝＝＝k，求证：E，F，G，H四点共面． 　　　　　　 [证明]　在平行四边形ABCD中，＝＋， 得－＝(－)＋(－)， 由已知得(－)＝(－)＋(－)，于是得＝＋，∴E，F，G，H四点共面． [拓展] 若本例条件“＝＝＝＝k”变为“＝＝m，＝＝k”，其他条件不变．求证：E，F，G，H四点共面． 证明：在平行四边形ABCD中，＝＋，得－＝(－)＋(－)， 由已知得－＝－＋－，即＝＋－， ＝.∴E，F，G，H四点共面． [方法技巧] 利用向量法证明向量共面的策略 (1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． (2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．　　 [对点训练] 2.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：与，共面． 证明：因为＝－， ＝＋＝－， ＝＝(＋)． 所以＝－＝(＋)－ ＝(－)＋ ＝＋. 所以与，共面． —————