6.1.2 空间向量的数量积（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

6.1.2　空间向量的数量积 明学习目标 知结构体系 课标 要求 掌握空间向量的数量积运算． 重点 难点 重点：掌握空间向量的夹角和数量积的性质． 难点：投影向量的概念及应用向量的数量积解决立体几何问题. (一)空间两个向量的夹角 1．夹角 定义 a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a与向量b的夹角 图示 表示 〈a，b〉 范围 [0，π] 2.空间两个向量的关系 (1)如果〈a，b〉＝0，那么向量a与b同向； (2)如果〈a，b〉＝π，那么向量a与b反向； (3)如果〈a，b〉＝，那么称向量a与b互相垂直，并记作a⊥b. (1)由于零向量的方向是任意的，因此任意一个向量与零向量的夹角是不确定的，故零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a都是共线的，即0∥a. (2)①a，b＝b，a＝－a，－b＝－b，－a； ②a，－b＝－a，b＝π－a，b； ③，＝，＝π－，． 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各对向量的夹角为135°的是(　 ) A．，　　 B．， C．，　　 D．， 答案：B (二)空间向量的数量积 1．空间向量的数量积的定义 定义 设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|·cos〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 规定 零向量与任一向量的数量积为__0__ 2.空间向量数量积的运算律 交换律 a·b＝b·a 结合律 (λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R) 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c (1)空间向量数量积的性质 ① 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 ② 若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|； 若反向，则a·b＝－|a|·|b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝ ③ 若θ为a，b的夹角，则cos θ＝ ④ |a·b|≤|a|·|b| (2)与数量积有关的2个易错点 ①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零． ②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． 3．向量在向量上的投影向量 (1)定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量＝a，＝b，如图，过点A作AA1⊥OB，垂足为A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量． (2)几何意义：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，即a·b＝·b. 4．向量在平面上的投影向量 (1)定义：设向量m＝，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.我们将上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影，向量称为向量m在平面α上的投影向量． (2)几何意义：空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积，即m·n＝·n. 1．判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)向量与的夹角等于向量与的夹角．(　 ) (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　 ) (3)对于非零向量a，b，a，b与－a，－b相等．(　 ) (4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.(　 ) (5)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2.如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，则在AC上的投影向量的模为________；在平面ABCD内的投影向量的模为________． 答案：　2 —————————————————————————————————— 空间向量数量积的计算 —————————————————————————————————————— [典例1]　如图，已知正四面体OABC的棱长为1，求： (1)·； (2)(＋)·(＋)； (3)|＋＋|. [解]　在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1.，＝，＝，＝60°. (1)·＝||||cos∠AOB ＝1×1×cos 60°＝. (2)(＋)·(＋) ＝(＋)·(－＋－) ＝(＋)·(＋－2) ＝2＋2·－2·＋2－2·＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1. (3)|＋＋|＝＝＝. [方法技巧] 1．空间向量的数量积的运算方法 已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算．如果求的是关于a与