6.1.1 空间向量的线性运算（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

第6章 空间向量与立体几何 6．1.1　空间向量的线性运算 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1．了解空间向量的概念． 2．掌握空间向量的加法、减法和数乘运算． 3．掌握空间向量共线向量定理． 重点 难点 重点：向量的加、减、数乘运算． 难点：共线向量定理的掌握及运用. (一)空间向量的概念及线性运算 1．空间向量 定义 在空间，把既有大小又有方向的量，叫作空间向量 表示方法 空间向量用有向线段表示，并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示 2．空间向量的加法和数乘运算的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 分配律 λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R) (1)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a等无法运算． (2)任何实数与向量的积仍是一个向量，空间向量的数乘运算可以扩大向量a的模(当|λ|＞1时)，也可以缩小向量a的模(当|λ|＜1时)；可以不改变向量a的方向(当λ＞0时)，也可以改变向量a的方向(当λ＜0时)． 3．向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算． 1．已知λ∈R，则下列命题正确的是(　 ) A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|＞0 答案：C 2．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，则＋＋＝(　 ) A. B. C. D．0 答案：A 3．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________. 答案：3a－2b (二)共线向量及共线向量定理 1．共线向量或平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量． 向量a与b平行，记作a∥b.规定零向量与任意向量共线． 2．共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa. 下列条件能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是(　 ) A.＋＝ B.－＝ C.＝ D．||＝|| 解析：选C　对于空间中的任意向量，都有＋＝，故A错误； 若－＝，则＋＝，而＋＝，据此可知＝，即B，C两点重合，故B错误； 若＝，则A，B，C三点共线，故C正确； 若||＝||，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，但不一定有A，B，C三点共线，故D错误． —————————————————————————————————— 空间向量的概念 —————————————————————————————————————— [典例1]　有下列关于空间向量的命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与是相等向量；④在空间四边形ABCD中，与是相反向量；⑤在三棱柱ABC­A1B1C1中，与的模一定相等的向量一共有3个．其中正确命题的个数为(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 [解析]　①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；③正确，与的模相等，方向相同；④错误，空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也一定不相反；⑤错误，在三棱柱ABC­A1B1C1中，与的模一定相等的向量是，，，，，共5个．故选A. [答案]　A [方法技巧] 空间向量与平面向量的一致性 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是两个向量的模相等，方向相反． [对点训练] 1．下列说法正确的是(　 ) A．任一空间向量与它的相反向量都不相等 B．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 解析：选C　对于A，零向量与它的相反向量相等，故说法错误；对于B，将空间中所有的单位向量平移到同一起点， 则它们的终点构成一个球面，故说法错误；对于C，空间向量与平面向量一样，既有大小又有方向，不能比较大小，故说法正确；对于D，一个非零向量的空间向量与它的相反向量不相等，但它们的模相等，故说法错误．故选C. 2.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B　对于①与，③与中的两向量，长度相等，方向相反，均互为相反向量；对于②与长度相等，方向不相反；对于④与长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对． ——