4.1.3 独立性与条件概率的关系（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

4．1.3　独立性与条件概率的关系 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.结合条件概率理解相互独立事件的充要条件，会对事件的独立性进行判断． 2.掌握相互独立事件的概率的乘法公式，会求相互独立事件同时发生的概率． 重点 难点 重点：独立事件的概率在实际中的应用． 难点：理解事件独立性与条件概率的关系. 1．独立性与条件概率的关系 当P(B)>0且P(AB)＝P(A)P(B)时，由条件概率的计算公式有P(A|B)＝＝＝P(A)，即P(A|B)＝P(A)．这就是说，此时事件A发生的概率与已知事件B发生时事件A发生的概率相等．也就是事件B的发生，不会影响事件A发生的概率． 2．两个事件独立的条件 当P(B)>0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)＝P(A)． 3．相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件 互斥事件 条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件 符号 相互独立事件A，B同时发生，记作：AB 互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B) 计算公式 P(AB) ＝P(A)P(B) P(A∪B) ＝P(A)＋P(B) 1．判断正误 (1)若事件A，B相互独立，则P()＝P()P()．(　 ) (2)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(　 ) (3)若事件A与B相互独立，则B与相互独立．(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 2．当P(A)>0时，若P(B|A)＋P()＝1，则事件A与B(　 ) A．互斥 B．对立 C．独立 D．不独立 答案：C 3．有8个相同的小球，上面分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8，“从中任取一个小球，球的数字是奇数”记为事件A，“从中任取一个小球，球的数字是3的倍数”记为事件B.试判断A，B是否为相互独立事件，并说明理由． 解：A，B为相互独立事件，理由如下，Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}．若A发生，则B发生的概率为；若A不发生，则B发生的概率为；可见，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，因此，A、B为相互独立事件． —————————————————————————————————— 两事件独立的判断 —————————————————————————————————————— [典例1]　已知某大学数学专业二年级的学生中，是否有自主创业打算的情况如下表所示，从这些学生中随机抽取一人： (1)求抽到的人有自主创业打算的概率； (2)求抽到的人是女生的概率； (3)若已知抽到的人是女生，求她有自主创业打算的概率； (4)判断“抽到的人是女生”与“抽到的人有自主创业打算”是否独立. 男生/人 女生/人 有自主创业打算 16 15 无自主创业打算 64 60 [解]　由题意可知，所有学生人数为16＋15＋64＋60＝155. 记A为“抽到的人有自主创业打算”，B为“抽到的人是女生”． (1)因为有自主创业打算的人数为16＋15＝31， 因此抽到的人有自主创业打算的概率为P(A)＝＝. (2)因为女生人数为15＋60＝75， 因此抽到的人是女生的概率为P(B)＝＝. (3)由题意，得75名女生中有15人有自主创业打算， 因此P(A|B)＝＝. (4)由(1)和(3)的计算结果可知P(A|B)＝P(A)， 因此“抽到的人是女生”与“抽到的人有自主创业打算”独立． [方法技巧] 两个事件是否独立的判断 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)定义法：当P(AB)＝P(A)P(B)时，事件A，B独立． (3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断． [对点训练] 1．把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否独立？ (1)A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出奇数点}； (2)A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3的倍数点}； (3)A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出的点数小于4}． 解：(1)∵P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝0，∴A与B不独立． (2)∵P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴A与B独立． (3)∵P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，∴P(AB)≠P(A)P(B)，∴A与B不独立． —————————————————————————————————— 事件独立性的概率计算 —————————————————————————————————————— [典例2]　已知甲、乙、丙三人参加驾照考试时，通过的概率分别为0.8,0.9,0.7，而且这三人之间的考试互不影响．求： (1)甲、乙、丙都通过