3.1.2 函数的单调性10种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(人教B版2019必修第一册)

3.1.2 函数的单调性10种常见考法归类 1、增函数、减函数的定义 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D，如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 结论 则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增) 则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减) 图示 自左向右图像逐渐上升 自左向右图像逐渐下降 注：(1)“区间I⊆D”说明函数的单调区间是其定义域的子集，不一定是定义域． (2)x1，x2的三个特征： ①同区间性，即x1，x2∈I； ②任意性，即不可用区间I上的两个特殊值代替x1，x2； ③有序性，即需要区分大小，通常规定x1<x2. (3)自变量的大小与函数值的大小关系： ①单调递增：x1＜x2⇔f(x1)＜f(x2)，x1＞x2⇔f(x1)＞f(x2). ②单调递减：x1＜x2⇔f(x1)＞f(x2)，x1＞x2⇔f(x1)＜f(x2). 即可以利用单调递增、单调递减的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化． (4)若f(x)在区间I上为增(减)函数，则函数f(x)的图像在区间I上的对应部分自左向右逐渐上升(下降). 2、单调性、单调区间、单调函数 如果一个函数在某个区间I上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间I上具有单调性．区间I称为函数的单调区间． 如果一个函数在其整个定义域内具有单调性，则称此函数是单调函数． 注：(1)由于函数在单独的一个x值处不存在单调性，因此写单调区间时可以包括区间端点，也可以不包括，但单调区间一定不包括使函数无意义的x的值． (2)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或逗号连接． 3、函数的最大(小)值 名称 定义 几何意义 函数的 最大值 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点． 函数的最大值对应其图像最高点的纵坐标． 函数的 最小值 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点． 函数的最小值对应其图像最低点的纵坐标． 说明：　最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点． 4、函数的最值和值域的联系与区别 (1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域． (2)区别： ①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在； ②若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素； ③若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值． 5、函数的平均变化率 （1）直线的斜率 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称 为直线AB的斜率；当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在． ①直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度． ②若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，则当Δx≠0时，斜率可记为k＝. 6、平均变化率 一般地，当x1≠x2时，称 ＝ 为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率． 利用上述结论，我们可以证明一个函数的单调性． (1)Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (2)注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2). (3)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f(x)＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f(x)＝x2在[－2，2]上的图像先下降后上升，值域是[0，4]. (4)平均变化率的几何意义是函数y＝f(x)图像上的两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))连线所在直线的斜率． (5)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”．只有当Δx＝x2－x1无限变小时，这种量化才由“粗糙”逼近“精确”． 7、图像法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图像． (2)结论：上升图像对应单调递增区间，下降图像对应单调递减区间．　 8、利用定义证明函数单调性的步骤 注：作差变形是解题关键　　 9、利用定义证明函数的单调时，常用的变形技巧： （1）因式分