第06讲 指对幂函数讲义-2023-2024学年高一上学期期中数学复习

第06讲 指对幂函数 1、 知识梳理 1.幂函数的定义：一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. 常见的5种幂函数的图象 2.分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 3.对数的概念：一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”. 4.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④loga mMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1). 换底公式的两个重要结论：(1)logab＝；(2)logambn＝logab. 5.反函数：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称. 2、 经典例题 考点一　　指数幂、对数的运算 【例1】 化简下列各式： (1)＋2－2·－(0.01)0.5； (2)(a>0，b>0). 【变式】 (1)计算：÷100－＝________. (2)计算：＝________. 考点二　指对幂函数的图象及应用 【例2】函数的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【变式】(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A.a>1，b<0 B.a>1，b>0 C.0<a<1，b>0 D.0<a<1，b<0 【例3】若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________. 【变式】 (1)若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是(　　) (2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2] D. 考点三　函数的性质及应用 【例4】已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　) A.f(x)在(0，2)上单调递增 B.f(x)在(0，2)上单调递减 C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 D.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 【变式】 (1)(一题多解)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b (2)若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是(　　) A.(0，1) B. C. D.(0，1)∪(1，＋∞) 【例5】 (1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是______. (2)若函数f(x)＝的值域是，则f(x)的单调递增区间是________. 【变式】 如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________. 【例6】 巳知幂函数的图象过(2，). (Ⅰ)求m的值与函数的定义域； (Ⅱ)已知，求的值. 【变式】已知幂函数在上单调递增，函数. （1）求的值； （2）当，时，记，的值域分别为集合，，设命题，命题，若命题是成立的必要条件，求实数的取值范围. 【例7】已知在区间 上的值域为。 (1)求实数的值； (2)若不等式 当上恒成立，求实数k的取值范围。 【变式】已知函数. （1）当时，求函数的值域. （2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围. 【例8】已知函数f(x)＝loga(3－ax). (1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围； (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由. 【变式】已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的