第五章二元一次方程组5.6二元一次方程与一次函数（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年八年级上册数学同步教案（北师大版）

第五章 二元一次方程组 6 二元一次方程与一次函数 教学目标 1.初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解. 2.通过思考和操作，建立“数”与“形”之间的对应，培养学生初步的数形结合的意识和能力. 3.通过自主探索，揭示方程和图象之间的对应关系，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，进一步激发学生学习数学的兴趣. 教学重难点 重点：二元一次方程组的图象解法以及用二元一次方程组求两直线交点的方法. 难点：数形结合思想和转化思想. 教学过程 导入新课 探究新知 一、合作探究 问题1：方程x+y＝5的解有多少个？ 问题2：点(0，5)，(5，0)，(2，3)在一次函数y＝5-x的图象上吗？ 问题3：在一次函数y＝5-x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y＝5吗？ 问题4：以方程x+y＝5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y＝5-x的图象相同吗？ 意图：通过设置问题情景，让学生感受方程x+y＝5和一次函数y＝5-x相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系. 效果：以“问题串”的形式，启发引导学生探索知识的形成过程，培养了学生的数学转化思想. 学生归纳：二元一次方程和一次函数图象的关系： 1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上； 2.一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程. 二、自主探索 内容：1.解方程组 2.上述方程移项变形转化为两个一次函数y＝-x+5和y＝2x-1,在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图象（学生在已经准备好的坐标系内作图）. 3.思考：方程组的解和这两个函数的图象的交点坐标有什么关系？ （1）确定两条直线的交点坐标，相当于求对应的二元一次方程组的解； （2）解一个二元一次方程组相当于确定对应的两条直线交点的坐标. 根据以上两点，思考： 解二元一次方程组有什么方法？（直接解方程组法、图象找交点法） 反过来，求两个一次函数的交点又有哪些方法？（图象找交点法、联立解方程组法） 意图：通过自主探索，使学生初步体会“数”(二元一次方程)与“形”(两条直线)之间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础. 效果：由学生自主学习，十分自然地建立了数形结合的意识，学生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理，反之，“形”的问题可以转化成“数”来处理，培养了学生的创新意识和变式能力. 教师归纳总结：一般地,从形的角度看,确定两条直线的交点坐标相当于求相应的二元一次方程组的解；从数的角度看,解二元一次方程组相当于确定相应的两条直线的交点坐标. 三、例题讲解 例1　如图,直线l1:y＝x+1与直线l2:y＝mx+n相交于点P(1,b). (1)求b的值； (2)不解关于x,y的方程组请你直接写出它的解； (3)直线l3:y＝nx+m是否也经过点P?请说明理由. 【解】(1)因为点(1,b)在直线y＝x+1上, 所以b＝1+1＝2. (2)方程组的解是 (3)直线y＝nx+m也经过点P.理由如下: 因为点P在直线l2上,所以m+n＝2. 因为当x＝1时,y＝nx+m＝m+n＝2， 所以点(1,2)的坐标满足直线y＝nx+m的函数关系式,即直线l3经过点P. 变式训练　用图象法解方程组时,下列图象正确的是 (　　) 　　　　　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 答案：C 例2　如图所示,已知一次函数y＝ax+2与y＝kx+b的图象交于点A,且方程组的解为点B的坐标为(0,-1).你能确定两个一次函数的关系式吗? 【解】因为方程组的解为 所以交点A的坐标为(2,1). 因为点A在函数y＝ax+2的图象上, 所以2a+2＝1, 所以a＝-. 因为点A(2,1)和点B(0,-1)在函数y＝kx+b的图象上, 所以解得 所以两个一次函数的关系式为y＝-x+2,y＝x-1. 变式训练：如图,直线y1＝2x+3和直线y2＝-2x-1分别交y轴于点A,B,两直线交于点C. (1)求C点的坐标； (2)求△ABC的面积. 解：(1)解方程组 ∴ 点C的坐标为(-1,1). (2)直线y1＝2x+3与y轴的交点A的坐标为(0,3), 直线y2＝-2x-1与y轴的交点B的坐标为(0,-1), ∴ AB＝4. ∴ S△ABC＝×4×|-1|＝2. 例3　若方程组没有解,则一次函数y＝2-x与y＝-x的图象必定(　　) A.重合 B.平行 C.相交 D.无法确定 【解析】因为方程组没有解,所以一次函数y＝2-x与y＝-x的图象没有交点.所以一次函数y＝2-x与y＝-x的图象必定平行. 【答案】B 技巧点拨：二元一次方程组无解时,相应的两个一次函数图象没有交点,即两条直线平行；反之亦然. 课堂练习 1.已知二元一次方程