3.1.1 函数及其表示方法8种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(人教B版2019必修第一册)

3.1.1 函数及其表示方法8种常见考法归类 1、函数的概念 （1）变量观点的定义 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数． （2）集合观点的定义 一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A},称为函数的值域． 注：对函数概念的几点说明 (1)y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，不能认为“y等于f与x的乘积”，应理解为：x是自变量，f是对应关系(可以是解析式、图像、表格或文字描述等). (2)函数符号f(x)表示的对应关系与字母f无关，也可以用g，F，G等表示；同样，自变量x也可以用t，m，h等表示． 2、函数的三要素 （1）定义域 函数的定义域是函数y＝f(x)的自变量x的取值范围．在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合．在实际问题中，函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约． （2）对应关系 对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．按照这一“程序”，从定义域A中任取一个x，可得到值域{y|y＝f(x)，x∈A}中唯一的y与之对应．同一“f”可以“操作”不同形式的变量． （3）值域 函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也就随之确定了． 注：由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均为数值)之间是否具有函数关系，只要检验： (1)定义域和对应关系是否给出； (2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y与之对应． 3、同一个函数 一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数． 4、函数的表示方法 常用的函数的表示方法有三种：列表法、图像法和解析法，具体如下． 列表法 图像法 解析法(公式法) 定义 通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法． 用“图形”表示函数的方法． 在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的方法． 优点 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值． 能直观、形象地表示出函数值的变化情况． 通过解析式可求出任意一个自变量所对应的函数值，且便于研究函数的性质． 缺点 列表法只能表示自变量取值为有限个的函数，且从表中很难看出函数的性质． 只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大． 用解析式表示函数时容易漏掉定义域，而且对于一些实际问题，很难找到它的解析式． 5、函数的图像 （1）函数的图像 一般地，将函数y＝f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图像，即 F＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}． （2）函数图像的作法 ①函数图像的特征 函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等． ②描点法作函数图像的三个步骤(注意函数的定义域) ③利用常见函数图像作出所求函数的图像 6、分段函数 （1）分段函数的定义 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数． （2）分段函数的图像 分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成．在同一平面直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图像，要注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 注：(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数． (2)求分段函数的函数值的关键是分段归类，即自变量的取值属于哪个区间，就只能用那个区间上的解析式来进行计算． (3)写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏．分段函数的定义域是各个自变量取值区间的并集． 7、函数关系的判断 (1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应． 注意　A中元素无剩余，B中元素允许有剩余． (2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．　 8、求函数定义