2.2.4 均值不等式及其应用5种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(人教B版2019必修第一册)

2.2.4 均值不等式及其应用5种常见考法归类 1、均值不等式 （1）算术平均值与几何平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值． 多个正数的算术平均值和几何平均值可以类似地定义，例如a，b，c的算术平均值为，几何平均值为. （2）均值不等式 如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 均值不等式也称为基本不等式，其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值． (1)“当且仅当”的含义：当a＝b且仅当a＝b时，不等式≥能取到等号，即＝. (2)均值不等式可变形为a＋b≥2，ab≤. 2、均值不等式与最大(小)值 已知x，y都是正数． (1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 可以表述为： 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． 可简记为“两正数积定和最小，和定积最大”． 利用均值不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”．具体理解如下： (1)“一正”，即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案． (2)“二定”，即含变量的各项的和或者积必须是常数，即要求a＋b的最小值，ab必须是定值；求ab的最大值，a＋b必须是定值． (3)“三相等”，即必须具备不等式中等号成立的条件，才能求得最大值或最小值． 3、利用均值不等式求最值的策略 （1）利用均值不等式求最值的策略 (2)拼凑法求解最值，就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用均值不等式求解最值． (3)通过消元法利用基本不等式求最值的方法 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解． 注意：利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件． 4、利用均值不等式证明不等式 (1)在利用a＋b≥2时，一定要注意是否满足条件a>0，b>0. (2)在利用基本不等式a＋b≥2或≥(a>0，b>0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式． (3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．　 5、利用均值不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)理解题意，设变量，设变量时，一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案．　 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 对均值不等式的理解 考点二 利用均值不等式求最值 考点三 利用均值不等式证明不等式 考点四 均值不等式的恒成立问题 考点五 利用均值不等式解决实际问题 考点一 对均值不等式的理解 1．（2023秋·广东广州·高一广州市第四十一中学校考阶段练习）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（　　） A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B． C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0） 2．（2023秋·广东江门·高一校考期中）如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 3．【多选】（2023秋·广东惠州·高一校考阶段练习）下列不等式中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．【多选】（2023秋·广东江门·高一新会陈经纶中学校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ） A．当时， B．若，则的最小值是 C．当时， D．的最小值是 考点二 利用均值不等式求最值 5．【多选】（2023秋·陕西咸阳·高一武功县普集高级中学校考阶段练习）若，，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 6．【多选】（2023秋·重庆·高一校联考阶段练习）设正实数x，y满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最小值是9 C．的最小值为 D．的最小值为2 7．（2023秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知，则的最小值为 . 8．（2023秋·吉林·高三校考阶段练习）设，