专题03 圆的方程（3大考点9种题型）（考点清单）-2023-2024学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题03 圆的方程（考点清单） 1、圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 2、点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 3、圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 4、用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 5、轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． （1）当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． （2）求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． （3）求轨迹方程的步骤： ①建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； ②列出关于的方程； ③把方程化为最简形式； ④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； ⑤作答． 01 圆的标准方程 【考试题型1】圆的标准方程 【解题方法】直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． 【典例1】（2023·全国·高二期中）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【专训1-1】（2023·福建漳州·高二校联考期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点和，则圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【专训1-2】（2023·湖南邵阳·高二湖南省隆回县第二中学校考期中）设圆C的圆心M在y轴上，且圆C与x轴相切于原点O，若，则圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【考试题型2】点与圆的位置关系 【解题方法】判断点与圆的位置关系的两种方法 （1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． （2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 【典例2】（2023·高二课时练习）若原点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【专训2-1】（2023·高二课时练习）若点在圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【专训2-2】（2023·全国·高二专题练习）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【考试题型3】圆的标准方程的实际应用 【解题方法】解决圆的标准方程的实际应用题时应注意以下几个方面 【典例3】（2023·高二课时练习）一辆货车宽1．6米，要经过一个半径为3．6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为（　　） A．2．4米 B．3．5米 C．3．6米 D．2．0米 【专训3-1】（2023·高二课时练习）有一座圆拱桥，初始时拱桥顶部离水面2m，水面宽12m，若水面下降1m，则水面的宽为 m． 【专训3-2】（2023·江苏连云港·高二校考阶段练习）河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m．一条船在水面以上部分高6．5m，船顶部宽4m，可以通行无阻．近日水位暴涨了2．7m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：船身应该降低多少？（精确0．01m，参考数据 ） 02 圆的一般方程 【考试题型1】圆的一般方程的理解 【解题方法】圆的一般方程的辨析 （1）由圆的一般方程的定义，在x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． （2）将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． 【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）方程表示圆，则实数a的可能取值为（    ） A． B．2 C．0 D． 【专训1-1】（2023·全国·高二专题练习）若方程表示圆，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【专训1-2】（2023·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考期末）已知表示的曲线是圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【考试题型2】求圆的一般方程 【解题方法】应用待