专题04 直线与圆、圆与圆的位置关系及圆的最值问题（3大考点9种题型）（考点清单）-2023-2024学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题04 直线与圆、圆与圆的位置关系及圆的最值问题（考点清单） 一．直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交 二．直线与圆的位置关系判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 三．两圆位置关系的判断 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 【解题方法总结】 关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 01 直线与圆的位置关系 【考试题型1】直线与圆位置关系的判定 【解题方法】直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 【典例1】（2023·高二课时练习）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【专训1-1】（2023·浙江·高二校联考开学考试）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【专训1-2】（2023·河南商丘·高二校考阶段练习）已知直线和圆，则下列结论错误的是（    ） A．直线恒过定点 B．存在使得直线与直线垂直 C．直线与圆总相交 D．存在直线被圆截得的弦长为6 【考试题型2】直线与圆相切的有关问题 【解题方法】求过某一点的圆的切线方程 （1）点（x0，y0）在圆上． ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0． （2）点（x0，y0） 在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k（x－x0），由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． ③过圆外一点的切线有两条． 【典例2】若直线与圆相切，则 ． 【专训2-1】（2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第七中学校考期中）若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数m的取值范围是 ． 【专训2-2】（2023·江苏·高二专题练习）过点向圆引切线，则其切线方程为 ． 【专训2-3】由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为 ． 【考试题型3】直线截圆所得弦长问题 【解题方法】（1）求直线与圆的弦长的三种方法：代数法、几何法及弦长公式． （2）利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况． 【典例3】（2023·江苏·高二专题练习）圆与直线相交于，两点，则 ． 【专训3-1】（2023·高二课时练习）若直线3x＋4y－8＝0被圆（x－a）2＋y2＝4截得的弦长为，则a＝ ． 【专训3-2】（2023·江苏·高二专题练习）过圆内一点的最短的弦所在的直线方程是 ． 02 圆与圆的位置关系 【考试题型1】圆与圆的位置关系的判断 【解题方法】判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤 （1）化成圆的标准方程，写出圆心和半径． （2）计算两圆圆心的距离d． （3）通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． 【典例1】圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【专训1-1】（2023·高二课时练习