“4翼”检测评价（8）空间角的计算（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

“四翼”检测评价（八） 空间角的计算 (一)基础落实 1．已知平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量为n2＝(1，－1，1)，则平面α与β所成的角为(　 ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：选D　因为n1·n2＝0，所以α⊥β，所以α与β所成的角为90°. 2．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　如图所示，直线l与平面α所成的角θ＝－＝. 3．在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为(　 ) A. B．－ C. D.或－ 解析：选D　因为＝.所以这个二面角的余弦值为或－. 4.如图所示，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面ABCD，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成二面角的平面角的大小是(　 ) A．120° B．45° C．135° D．60° 解析：选B　以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)， ＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)， 则有令x＝1，则z＝1，y＝0，则n＝(1,0,1)是平面BCE的一个法向量．又平面ADE的一个法向量为＝(1,0,0)，所以cos〈n，〉＝＝，故平面ADE与平面BCE所成二面角的平面角是45°. 5.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为________． 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)， ∴＝(－2,0,1)．连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，∴平面BB1D1D的一个法向量为a＝＝(－2，2,0)． ∴所求角的正弦值为|cos〈a，〉|＝＝＝. 答案： 6．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a＞0)，如果平面α与xOy平面所成二面角为45°，则a＝________. 解析：设A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0，a)(a＞0)，则＝(－3，0，a)，＝(－3，4,0)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则即取z＝1，则x＝，y＝，∴n＝，取xOy平面的一个法向量为m＝(0,0,1)，则cos〈m，n〉＝＝，解得a2＝，又a＞0，∴a＝. 答案： 7．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成的角的余弦值为________． 解析：以D为坐标原点，建系如图， 则B(1,2,0)，C1(0,2,2)，A(1,0,0)，E(0,2,1)，所以＝(－1，0,2)，＝(－1,2,1)．则cos〈，〉＝，所以异面直线BC1与AE所成的角的余弦值为. 答案： 8.如图，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的体对角线BD′上，满足BP＝2PD′. (1)求DP与CC′所成角的余弦值； (2)求DP与平面AA′D′D所成角的正弦值． 解：如图建立空间直角坐标系， 设棱长为1，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C′(0,1,1)，D′(0，0,1)，则＝(－1，－1，1)，＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(0,1,0)．∵BP＝2PD′，∴＝＝. (1)＝＋＝(1,1,0)＋＝，设DP与CC′所成的角为θ，则cos θ＝＝＝，∴DP与CC′所成角的余弦值为. (2)由(1)知＝.易证DC⊥平面AA′D′D，∴ ＝(0,1,0)为平面AA′D′D的一个法向量，设DP与平面AA′D′D所成的角为α，∴sin α＝|cos〈，〉|＝＝＝，∴DP与平面AA′D′D所成角的正弦值为. 9.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝DO. (1)证明：PA⊥平面PBC； (2)求二面角B-PC-E的余弦值． 解：(1)证明：设DO＝a,由题设可得PO＝a，AO＝a，AB＝a，PA＝PB＝PC＝a. 因此PA2＋PB2＝AB2，从而PA⊥PB. 又PA2＋PC2＝AC2，故PA⊥PC. 因为PB∩PC＝P，PB⊂平面PBC，PC⊂平面PBC， 所以PA⊥平面PBC. (2)以O为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题设可得E(0,1,0)，A(0，－1,0)，