“4翼”检测评价（7）直线的方向向量与平面的法向量空间线面关系的判定（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

“四翼”检测评价（七） 直线的方向向量与平面的法向量空间线面关系的判定 (一)基础落实 1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则l1与l2的位置关系是(　 ) A．l1⊥l2 B．l1∥l2 C．l1，l2相交但不垂直 D．不能确定 解析：选A　∵直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，∴a·b＝－2＋6－4＝0，即a⊥b，∴l1与l2的位置关系是l1⊥l2. 2．若d＝(4,2,3)是直线l的方向向量，n＝(－1,3,0)是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是(　 ) A．垂直 B．平行 C．直线l在平面α内 D．相交但不垂直 解析：选D　∵d·n＝－4＋2×3＋0＝2≠0，∴d与n不垂直．又d与n不平行，∴直线l与平面α的位置关系是相交但不垂直． 3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是(　 ) A．(－1，－1，－1) B．(1，－1,1) C．(－1,1,1) D．(1,1，－1) 解析：选A　＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)． 4．(多选)已知空间向量a＝(－2，－1,1)，b＝(3,4,5)，下列结论正确的是(　 ) A．|a＋b|＝3 B．a，b夹角的余弦值为－ C．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为m＝(4,2，k)，且l⊥α，则实数k＝－2 D．a在b上的投影向量为－b 解析：BCD　对于A，a＋b＝(1,3,6)，|a＋b|＝＝，故A错误；对于B，因为a＝(－2，－1,1)，b＝(3,4,5)，所以|a|＝＝，|b|＝＝5，a·b＝－2×3－1×4＋1×5＝－5，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，故B正确；对于C，因为l⊥α，所以a∥m，则＝＝，解得k＝－2，故C正确；对于D，a在b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·＝××＝－b，故D正确． 5.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　 ) A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 解析：选B　如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为3，则E(1,0,1)，F(2，1,0)，A1(3,0,3)，A(3,0,0)，C(0，3,0)，D(0,0,0)，B(3，3,0)，D1(0,0,3)，∴＝(1,1，－1)，＝(－3,3,0)，＝(－3,0，－3)，＝(－3，－3,3)．∵·＝0，·＝0，∴EF⊥AC，EF⊥A1D，∴A错误，B正确；∵＝－3，∴∥，即EF∥BD1，∴C、D错误． 6．设平面α的一个法向量为n1＝(1,2，－2)，平面β的一个法向量为n2＝(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________. 解析：∵α∥β，∴存在实数λ，使(1,2，－2)＝λ(－2，－4，k)，∴k＝4. 答案：4 7.四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝，如图建系，则平面OCB1的法向量n＝________. 解析：易得O(0,0,0)，C(0,1,0)，B1(1,1,1)，∴＝(0,1,0)，＝(1,1,1)．设n＝(x，y，z)，∵·n＝y＝0，·n＝x＋y＋z＝0，故y＝0，x＝－z，取x＝1，故z＝－1.∴平面OCB1的一个法向量为n＝(1,0，－1)(答案不唯一)． 答案：(1,0，－1)(答案不唯一) 8．已知空间三点A(－1,1,1)，B(0,0,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________． 解析：设M(x，y，z)，因为＝(1，－1,0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)，由题意，得所以x＝－，y＝，z＝1，所以点M的坐标为. 答案： 9．已知A(1,2,3)，B(1，－1，－2)，C(－1,0,0). (1)写出直线BC的一个方向向量； (2)设平面α经过点A，且是平面α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式． 解：(1)因为B(1，－1，－2)，C(－1,0,0)， 所以直线BC的一个方向向量为 ＝(－1－1,0－(－1)，0－(－2))＝(－2,1,2)． (2)因为平面α经过A(1,2,3)且M(x，y，z)是平面α内的任意一点， 则有＝(x－1，y－2，z－3)，