“4翼”检测评价（6）空间向量数量积的坐标表示（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

“四翼”检测评价（六） 空间向量数量积的坐标表示 (一)基础落实 1．(多选)若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则(　 ) A．cos〈a，b〉＝－　　　　　 B．a⊥b C．a∥b D．|a|＝|b| 解析：选AD　∵向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，∴|a|＝，|b|＝，a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，cos〈a，b〉＝＝＝－.故选A、D. 2．已知空间向量a＝(0,2,1)，b＝(0，－1,1)，则与向量a＋b方向相反的单位向量e的坐标是(　 ) A．(0,1,2) B．(0，－1，－2) C. D. 解析：选D　∵a＝(0,2,1)，b＝(0，－1,1)，∴a＋b＝(0,1,2)，|a＋b|＝，∴与向量a＋b方向相反的单位向量e的坐标是－×(0,1,2)＝，故选D. 3．若向量a＝(x，－4，－5)，b＝(1，－2,2)，且a与b的夹角的余弦值为－，则实数x的值为(　 ) A．－3 B．11 C．3 D．－3或11 解析：选A　根据题意得cos〈a，b〉＝＝＝－. 化简得＝－.解得x＝－3.故选A. 4．(多选)已知向量a＝(1,1，－1)，b＝(2，－1,0)，c＝(0,1，－2)，则下列结论正确的是(　 ) A．a·(b＋c)＝4 B．(a－b)·(b－c)＝－8 C．记a与b－c的夹角为θ，则cos θ＝ D．若(a＋λb)⊥c，则λ＝3 解析：选ABD　由题意得a·(b＋c)＝(1,1，－1)·(2,0，－2)＝2＋0＋2＝4.(a－b)·(b－c)＝(－1,2，－1)·(2，－2,2)＝－2－4－2＝－8. cos θ＝＝ ＝－.因为(a＋λb)⊥c，所以(a＋λb)·c＝0， 即(1＋2λ，1－λ，－1)·(0,1，－2)＝0， 得1－λ＋2＝0，解得λ＝3.综上可知，选项A、B、D正确． 5．(多选)如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB＝2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的可能取值为(　 ) A．4 B．4 C．2 D．2 解析：ABD　以DA，DC，DF为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示．设CG＝a，P(x,0，z)，则＝，即z＝，又B(2,2,0)，G(0,2，a)，所以＝，＝，·＝x(x－2)＋4＋＝0，显然x≠0且x≠2，所以a2＝－4.因为x∈(0,2)，所以2x－x2∈(0,1]，则当2x－x2＝1时，a2取得最小值12，所以a的最小值为2，即边CG长度的最小值为2. 6．若m＝(2，－1,1)，n＝(λ，5,1)，且m⊥(m－n)，则λ＝________. 解析：由已知得m－n＝(2－λ，－6,0)． 由m·(m－n)＝0，得2(2－λ)＋6＋0＝0，所以λ＝5. 答案：5 7．若a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________． 解析：a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝<0，又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2，又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)． 答案：(－∞，－2) 8．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)．则向量a＋b与a－b的夹角是__________． 解析：∵a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)． ∴a＋b＝(sin α＋cos α，2，sin α＋cos α)． a－b＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)． ∴(a＋b)·(a－b)＝cos2α－sin2α＋sin2α－cos2α＝0. ∴(a＋b)⊥(a－b)．∴向量a＋b与a－b的夹角是90°. 答案：90° 9．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1，－2,0)． (1)求a与(a－b)的夹角； (2)若2a＋b与a－tb垂直，求实数t的值． 解：(1)∵a＝(－1,0,1)，b＝(1，－2,0)， ∴a－b＝(－2,2,1)，|a|＝， |a－b|＝＝3. 设a与(a－b)的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， ∴a与(a－b)的夹角为. (2)∵2a＋b＝(－1，－2,2)，a－tb＝(－1－t,2t,1)， 又2a＋b与a－tb垂直，∴(2a＋b)·(a－tb)＝0， 即－1×(－1－t)＋2t×(－2)＋1×2＝0，解得t＝1. 10.如图，设边长为2的正方形ABCD的中心为O，过点O作平面ABCD的垂线VO，VO＝2，E为VO的中点，求与夹角的余弦值． 解：连接BD，AC，显然有BD⊥AC，BD∩AC＝O，BD＝AC＝2.如图分别以，，的方向为x、y、z轴的正方向，建立空间直