“4翼”检测评价（2）空间向量的数量积（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

“四翼”检测评价（二） 空间向量的数量积 (一)基础落实 1．下列结论正确的是(　 ) A．(a·b)·c＝(b·c)·a B．若a·b＝－|a||b|，则a∥b C．若a，b，c为非零向量，且a·c＝b·c，则a∥b D．若a2＝b2，则a＝b 解析：选B　由a·b＝|a||b|cosa，b，得cosa，b＝＝－1，又因为0°≤a，b≤180°，所以a，b＝180°，所以a∥b，B正确．A、C、D显然错误． 2．已知两条异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为(　 ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选B　设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，∴θ＝120°，∴两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.故选B. 3.如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　 ) A．6 B．6 C．12 D．144 解析：选C　因为＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144.所以||＝12.即PC＝12. 4.如图，在三棱锥P­ABC中，AP，AB，AC两两垂直，AP＝2，AB＝AC＝1，M为PC的中点，则·的值为(　 ) A.1 B. C. D. 解析：选D　由题意，得＝＋＝＋(＋)＝＋＋.故·＝·＝·＋·＋·＝||2＝. 5．在底面是正方形的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，∠A1AD＝∠A1AB＝，则||＝(　 ) A．2 B．2 C．3 D. 解析：选D　∵＝＋＋，∴||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝12＋12＋22＋2×1×1×cos＋2×1×2×cos＋2×1×2×cos＝1＋1＋4＋2＋2＝10，∴||＝.故选D. 6．若ABCD为空间四边形，则·＋·＋·＝________. 解析：·＋·＋·＝·(－)＋(－)·－·(－)＝·－·＋·－·－·＋·＝0. 答案：0 7．平行六面体ABCD­A1B1C1D1，AB＝AD＝4，AA1＝5，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1＝________. 解析：如图所示，∴＝＋＋＝＋＋，∴2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝113，则||＝. 答案： 8.如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________． 解析：不妨设棱长为2，则＝－，＝＋，cos〈，〉＝＝＝0. 又0°<〈，〉≤90°，∴〈，〉＝90°. 答案：90° 9．已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．试计算： (1)·；(2)·；(3)·. 解：如图，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)·＝b· ＝|b|2＝42＝16. (2)·＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. (3)·＝· ＝(－a＋b＋c)·＝－|a|2＋|b|2＝2. 10.如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD. 证明：·＝(＋＋)·＝·＝· ＝a2＋a2·cos 120°＋a2·cos 60°－a2cos 60°＝0，所以⊥，即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD. (二)综合应用 11．(多选)在四面体PABC中，下列说法正确的是(　 ) A．若＝＋，则＝3 B．若Q为△ABC的重心，则＝＋＋ C．若·＝0，·＝0，则·＝0 D．若四面体PABC的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则||＝1 解析：选ABC　对于A，∵＝＋，∴3＝＋2，∴2－2＝－，∴2＝，∴3＝＋，即3＝，故A正确；对于B，若Q为△ABC的重心，则＋＋＝0，∴3＋＋＋＝3，∴3＝＋＋，即＝＋·＋，故B正确；对于C，若·＝0，·＝0，则·＋·＝0，∴·＋·(＋)＝0，∴·＋·＋·＝0，∴·＋·－·＝0，∴(－)·＋·＝0，∴·＋·＝0，∴·＋·＝0，∴·(＋)＝0，∴·＝0，故C正确；对于D，∵＝－＝(＋)－＝(＋－)，∴||＝|－－|.∵|－－|2＝2＋2＋2－2·－2·＋2·＝4＋4＋4－4－4＋4＝8，∴||＝×＝，故D错误．故选A、B、C. 12.在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，AB＝1，PD＝2，则异面直线PA与BD所成角的余弦值为(　 ) A．－ B. C．－ D. 解析：选D　∵PD⊥平面ABCD，DA⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DA，PD⊥D