6.3.1 & 6.3.2 直线的方向向量与平面的法向量～空间线面关系的判定（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

6.3.1 & 6.3.2 直线的方向向量与平面的法向量 空间线面关系的判定 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解直线的方向向量和平面的法向量的概念与求法. 2.理解用向量法判定空间直线与平面的位置关系. 重点 难点 重点:空间中直线、平面的平行和垂直. 难点:理解直线、平面的向量表示. 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 (一)直线的方向向量与平面的法向量 1．直线的方向向量 直线l上的向量e(e≠0)以及___________________叫作直线l的方向向量． 与e共线的非零向量 2．平面的法向量 (1)如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称__________________，记作______.此时，我们把向量n叫作平面α的_______． (2)与平面______的直线叫作平面的法线．因此，平面的法向量就是____________的方向向量． 向量n垂直于平面α n⊥α 法向量 垂直 平面的法线 2．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的法向量的是 (　 ) A．(0，－3,1) B．(2,0,1) C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1) 答案：D　 解析：问题即求与n共线的一个向量．即n＝(2，－3，1)＝－(－2,3，－1)． (二)空间中直线、平面的平行 1．直线与直线平行 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔ _________________________ (λ∈R)． 2．直线与平面平行 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔ ______ ⇔ _____ ＝0⇔ ___________________. a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2 a⊥u a·u a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 3．平面与平面平行 设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)． 则α∥β⇔ ______⇔ _______ ⇔ ________________________(λ∈R)． u∥v a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2 u＝λv 答案：D　 (三)空间中直线、平面的垂直 1．直线与直线垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔ ______ ⇔ ________⇔ ___________________. 2．直线与平面垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1),平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2),则l⊥α⇔ ______⇔_______⇔__________________________，k∈R. a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 a∥u a＝ku a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2 3．平面与平面垂直 设平面α的法向量为u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔______⇔ ________⇔ ___________________. u·v＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 u⊥v 答案：C 2．已知两平面α，β的一个法向量分别为u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________． 答案：垂直 [题点一] 求平面的法向量 (1)求平面BCC1B1的法向量； (2)求平面MCA1的法向量． [解]　(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1＝(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量． 方法技巧 确定平面的法向量的常用方法 (1)直接法 根据立体几何中直线与平面垂直的判定定理得到法向量． (2)待定系数法求平面法向量的步骤 ①设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． 对点训练 1.在△ABC中，A(1，－1,2)，B(3,3,1)，C(3,1,3)，设M(x，y，z)是平面ABC内任意一点． (1)求平面ABC的一个法向量； (2)求x，y，z满足的关系式． [题点二] 利用空间向量证明平行关系 方法技巧 1．利用向量法证明线面平行的三种思路 (1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0. (2)根据线面平行的判定定理“若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，只需在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可． (3)根据共